¿Cuál es el inverso de una matriz distinta de cero de la forma [matemáticas] A = \ begin {bmatrix} a & -b \\ b & a \ end {bmatrix} [/ math]?

Answer 1

Uno de los modelos de números complejos es precisamente las matrices de la forma [math] \ begin {bmatrix} a & -b \\ b & a \ end {bmatrix} [/ math], donde [math] \ begin {bmatrix} a & -b \\ b & a \ end {bmatrix} [/ math] corresponde a [math] a + bi [/ math] en la notación estándar. Por lo tanto, el inverso es [matemáticas] \ frac {1} {a + bi} = \ frac {a-bi} {a ^ 2 + b ^ 2} \ equiv \ frac {1} {a ^ 2 + b ^ 2 } \ begin {bmatrix} a & b \\ -b & a \ end {bmatrix} [/ math].

Geométricamente, los números complejos actúan en el plano mediante homotedades rotacionales centradas en el origen. [math] a + bi [/ math] actúa girando por [math] arg (a + bi) = arctg (\ frac {b} {a}) [/ math] (no exactamente) con una homotecia por un factor de [matemáticas] | a + bi | = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]. Esto significa que el mosto inverso es una rotación de [math] -arg (a + bi) = arg (a-bi) [/ math] con una homotecia de [math] \ frac {1} {| a + bi |} [/matemáticas].

Answer 2

Tenga en cuenta que la matriz de rotación 2D es [math] \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}, [/ math]

cuyo ser inverso

[matemáticas] \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ – \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}. [/ math]

El resto es solo una cuestión de escala: multiplicar la matriz con un factor constante.

Answer 3

Una forma útil de comprender lo que hace una matriz es comprender lo que le hace a un elemento base como [math] \ left [\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right] [/ math]. Eso es porque cada vector es una combinación de los vectores base de alguna manera.

El producto de la matriz con A es [matemática] \ izquierda [\ begin {matrix} a \\ b \ end {matrix} \ right] [/ math] por lo que aparentemente esta matriz mueve el vector unitario horizontal a este nuevo vector. Del mismo modo, mueve el vector de la unidad vertical a [matemática] \ izquierda [\ begin {matrix} -b \\ a \ end {matrix} \ right] [/ math] que es claramente un vector ortogonal a la primera y de la misma longitud .

Eso me parece una rotación y dilatación.