¿Para qué valores de a, b, c, d y e está la siguiente matriz en forma de fila-escalón reducida?

Answer 1

* A2A

[matemática] \ left (\ begin {array} {c} 0 & a & 2 & 1 & b \\ 0 & 0 & 0 & c & d \\ 0 & 0 & e & 0 & 0 \ end {array} \ right) \\ [/ math]

[matemáticas] \ text {Podemos ver que} x_3 = 0 \ text {para} e \ neq 0 \ text {y} e \ in \ mathbb {R} \ text {pero si} e = 0 [/ math]

[math] \\\ text {luego terminamos con un sistema reducido que contiene dos ecuaciones en tres variables} \\ [/ math]

Caso I: [matemáticas] e = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ left (\ begin {array} {c} 0 & a & 2 & 1 & b \\ 0 & 0 & 0 & c & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) \\ [/ math]

[math] \ text {Resolver el sistema ahora produce …} \\ [/ math]

[matemáticas] x_3 = \ dfrac {d} {c}, c \ neq 0 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] ax_1 + 2x_2 + x_3 = b \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ax_1 + 2x_2 = b- \ dfrac {d} {c} \\ [/ matemáticas]

[math] \ text {Tenemos una variable libre, let} x_2 = s. [/ math]

[matemáticas] \\ ax_1 + 2s = \ dfrac {bc-d} {c} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ax_1 = \ dfrac {bc-d} {c} -2s [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ax_1 = \ dfrac {bc-d-2cs} {c} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x_1 = \ dfrac {bc-d-2cs} {ac} [/ matemáticas]

Caso II: [matemáticas] e \ neq 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ left (\ begin {array} {c} 0 & a & 2 & 1 & b \\ 0 & 0 & 0 & c & d \\ 0 & 0 & e & 0 & 0 \ end {array} \ right) \\ [/ math]

[math] \ text {Resolver el sistema ahora produce …} \\ [/ math]

[matemáticas] x_2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 = \ dfrac {d} {c}, c \ neq 0 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] ax_1 + 2x_2 + x_3 = b \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ax_1 = b- \ dfrac {d} {c} \\ [/ matemáticas]

[math] \ text {No tenemos ninguna variable libre aquí, solo resuelve de la manera usual} [/ math]

[matemáticas] \\ ax_1 = \ dfrac {bc-d} {c} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x_1 = \ dfrac {bc-d} {ac} [/ matemáticas]

---

Aquí, lo tomé como forma escalonada. Para la forma escalonada de fila reducida, tomará mucho más trabajo y algunas condiciones más.

---

No estaba completamente satisfecho con mi solución anterior, porque la pregunta pide “forma escalonada reducida de fila”, así que reelaboré parte del problema. Considerando [matemáticas] e \ neq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ left (\ begin {array} {c} a & 2 & 1 & b \\ 0 & e & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & d \ end {array} \ right) \ sim \ left (\ begin {array} {c} 1 & \ dfrac {2} {a} & \ dfrac {1} {a} & \ dfrac {b} {a} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dfrac {d} {c} \ end {array} \ right) \ sim \ left (\ begin {array} {c} 1 & 0 & 0 & \ dfrac {b} {a} – \ dfrac {d} {ac} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dfrac {d} {c} \ end {array} \ right) [/ math]

[matemáticas] x_3 = \ dfrac {d} {c}, c \ neq 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_1 = \ dfrac {b} {a} – \ dfrac {d} {ac} = \ dfrac {bc-d} {ac}, a \ neq 0 [/ matemáticas]

Las soluciones funcionan siempre que [math] a \ neq 0, c \ neq 0 [/ math]

Esto debería funcionar.

Answer 2

Comencemos con la primera fila. El coeficiente principal debe ser uno en forma de referencia, entonces a = 1.

c no puede ser 1 porque si fuera 1, entonces no sería el único miembro distinto de cero en su columna. Esto establece d en 1 y es el coeficiente principal, c y b = 0.

Dado que la posición del coeficiente principal de una fila particular debe estar a la derecha del coeficiente principal de una fila anterior, e = 0 de lo contrario se convertiría en un coeficiente principal a la izquierda de la fila 2.

a = 1, b = 0, c = 0, d = 1, e = 0

También puedo ver un caso donde a = 1, c = 0, d = 0, e = 0 yb podría ser cualquier número ya que todas las filas distintas de cero están por encima de todas las filas cero

Answer 3

2 (x2) +2 (x3) + x4 = b

c (x4) = d

e (x3) = 0 → x3 = 0

2 (x2) + d / c = b

PORQUE hay una FILA corta,

La MATRIZ DE IDENTIDAD no se puede formar,

∴ ¡NO HAY SOLUCIONES!

Answer 4

Según entiendo la pregunta, debemos suponer que la matriz ya está en rref, y no vamos a manipular ninguna fila para que sea así. rref requiere que los valores dinámicos sean todos unos y, como máximo, un valor en una columna dinámica en un valor distinto de cero.

entonces a = 1. e = 0 y c = 0. Para b y d, al menos uno de los dos debe ser cero.