No necesariamente.
Consideremos primero el plano R². Si tuviera dos vectores linealmente independientes, no serían un múltiplo escalar del otro (esa es la única forma de que sean linealmente dependientes). Lo que significa que (1,0) y (1,1), aunque no son perpendiculares entre sí, son linealmente independientes.
Ahora considere dos vectores linealmente independientes en el plano R³. Supongo que sabes que abarcarían un plano bidimensional. Si tiene su tercer vector en ese plano, entonces ese vector puede representarse como la combinación lineal de los otros dos. Por lo tanto, los vectores serán linealmente dependientes.
Para que el conjunto de tres vectores sea linealmente independiente, el tercer vector tiene que estar fuera de este plano. Podría ser mutuamente perpendicular. Pero no tiene que ser así.
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Por ejemplo {(1,0,0), (0,1,0), (1,0,1)}
El video a continuación es muy útil para obtener una buena visualización. También vale la pena ver el resto de los videos de la serie.
Combinaciones lineales, span y vectores base | Esencia de álgebra lineal, capítulo 2