¿Por qué el producto cruzado produce vectores, mientras que el producto punto produce escalares?

Answer 1

Los productos cruzados no producen vectores, producen pseudovectores y solo existen en 3 dimensiones.

Los pseudovectores se relacionan con un plano, no con un vector. En 3 dimensiones, hay 3 “elementos planos” independientes (como el plano [matemático] xy [/ matemático], el plano [matemático] yz [/ matemático] y el plano [matemático] zx [/ matemático]), que puede tratarse como un espacio vectorial tridimensional relacionado con el espacio vectorial tridimensional convencional utilizado por los vectores normales. Un pseudovector es perpendicular al elemento plano que representa, y su magnitud es proporcional al elemento plano que representa.

Como tal, el producto cruzado no mide la perpendicularidad de dos vectores, sino la planaridad.

En física, casi todo, si no todo, que usa pseudovectores y productos cruzados está involucrado con la rotación o el flujo circular. La velocidad angular / momento / par / etc. es rotacional y un pseudovector. El vector apunta en la dirección del eje de rotación. La fuerza de Lorenz (causada por el magnetismo) está relacionada con campos magnéticos causados ​​por cargas que se mueven, en última instancia, en un círculo. Todas estas cosas están relacionadas en última instancia con el movimiento en un plano, y el pseudovector representa ese plano.

En otras 3 dimensiones, no puede usar un pseudovector para representar un plano. En 2 dimensiones, solo hay 1 plano, por lo que el elemento del plano bidimensional es un espacio vectorial unidimensional, por lo que normalmente está representado por un número, y nadie habla del momento angular en un problema 2-d como un vector , pseudovector, o algo por el estilo. En 4 dimensiones, hay 6 elementos planos, que forman un espacio vectorial de 6 dimensiones, que no se asigna a un espacio de pseudovectores de 4 dimensiones. Otros mecanismos (como Clifford Algebras y los operadores de cuña Grassmanian) se utilizan para representar elementos planos (e incluso de volumen).

Answer 2

Lo primero, cruzar el producto en un espacio tridimensional, producir pseudovectores. Sus componentes son función de una rotación (hablando de vectores libres, la traducción no cambia ni vector ni pseudovector

Hay un caso en el que el pseudovector (y aquí es la única diferencia, en una simetría especular los vectores conservan, las coordenadas cambian en función del eje de coordenadas, el pseudovector se transforma en su opuesto)

El producto de puntos produce escalares, puede verificar, multiplicar (a1, a2, a3) * (b1, b2, b3). Luego multiplique por una matriz ortogonal genérica los componentes y verá que el resultado es invariante, y luego, por definición, es un escalar

Answer 3

El producto de punto se creó básicamente para usarse para calcular el trabajo, que es un escalar calculado a partir de dos vectores.

El producto cruzado fue para calcular el Torque, que es un vector calculado a partir de dos vectores.

Answer 4

El espacio de posibles vectores alineados es 1D, mientras que el de posibles vectores perpendiculares es n-1D. No es una explicación completa, pero es motivo de reflexión.

Answer 5

No use el producto cruzado para ver cuánto son 2 vectores perpendiculares, úselo para obtener un vector que sea perpendicular a ambos vectores.