La teoría de grupos y la teoría de anillos son áreas de estudio matemáticas prósperas y activas, tanto en su forma pura como como un medio para comprender otras áreas como la geometría algebraica, la topología e incluso el análisis. También son muy importantes en el diseño de algoritmos, la criptología y áreas muy teóricas de números en general.
El álgebra lineal abstracta, aunque ya no es un área activa de investigación, sirve como introducción a la teoría de la representación y al análisis funcional. Además, es una herramienta muy poderosa para resolver una gran cantidad de problemas tanto en matemáticas como en ciencias. También se usa ampliamente en finanzas y gráficos por computadora.
En general, el álgebra abstracta ha resultado ser indispensable para la física cuántica, la relatividad, la física de partículas y el estudio de los enlaces químicos. También se aplica a la economía.
Y, lo más importante para los matemáticos, es muy, muy interesante.
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