Dos matrices diagonales conmutan (con respecto a la multiplicación) si y solo si sus entradas se toman de un anillo conmutativo. No solo eso, sino que si las entradas de sus matrices diagonales [matemáticas] n \ veces n [/ matemáticas] se toman de un dominio integral (un anillo conmutativo sin divisores de cero), entonces sus [matemáticas] n \ veces n [ / math] las matrices diagonales también formarán un dominio integral.
No es difícil demostrar que el anillo de [math] n \ times n [/ math] matrices diagonales es isomorfo al anillo de [math] n [/ math] -tuplas donde [math] + [/ math] y [ matemáticas] \ cdot [/ matemáticas] se definen por
[matemáticas] (a_1, \ ldots, a_n) + (b_1, \ ldots, b_n) = (a_1 + b_1, \ ldots, a_n + b_n) [/ math]
y
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[matemáticas] (a_1, \ ldots, a_n) \ cdot (b_1, \ ldots, b_n) = (a_1b_1, \ ldots, a_nb_n) [/ math]
Debido a esto, el producto de dos matrices diagonales es otra matriz diagonal.