¿Por qué necesitamos los axiomas para definir estructuras algebraicas como los espacios vectoriales?

Answer 1

¿Por qué necesitamos los axiomas? Me parecen obvias para las operaciones especificadas. Quiero decir, por supuesto, la adición obedecería a la asociatividad, por ejemplo.

Esa adición obedecería a que la asociatividad es clara para usted porque así es como la aprendió desde muy joven.

La operación matemática llamada suma es tan común que todos piensan que es clara.

Sin embargo, cuando aprende sobre los espacios vectoriales por primera vez, alguien tiene que decirle que las reglas que le parecen tan obvias todavía están vigentes.

¿Qué sería si alguien definiera una operación llamada “suma” que no sigue las reglas que asocias con la palabra?

Podrías pensar en matrices. ¿Qué pasa con la multiplicación de matrices? ¿Esta forma de multiplicación sigue los axiomas que consideras obvios? ¿Solo porque usa un nombre que ya reconoces?

Es por eso que tenemos que especificar cosas aparentemente “obvias”. Porque no todo es obvio.

Answer 2

Es difícil no copiar la excelente respuesta de Justing Rising hasta cierto punto.

Entonces, para usar una perspectiva diferente:

No se definen operaciones en la definición, ni una sola. Son términos y símbolos genéricos para representar las operaciones de alguna estructura de espacio vectorial aspirante.

Entonces, la suma de vectores puede tener muchas formas muy diferentes que no son como la suma que conoces. Por ejemplo, la diferencia simétrica se puede usar para definir la adición de un módulo específico, que es un poco más general.

Entonces, por supuesto, no necesita ser asociativo o cerrado en absoluto.

Los campos también pueden tener muchas formas diferentes. No lo verás durante algún tiempo cuando estudies matemáticas, pero existen.

Por ejemplo, tome el anillo polinomial en infinitas variables [math] R [/ math] y el ideal generado por [math] (x_1, x_2, …) = I [/ math] luego [math] R / I [/ math ] es un campo.

Entonces, otro aspecto importante es que cualquier cosa, por extraño que parezca, es un espacio vectorial ahora puede ser “atacado” con muchos teoremas de álgebra lineal que no son obvios para este espacio.

Entonces, es realmente poderoso tener una definición abstracta.

Answer 3

El propósito de los axiomas del espacio vectorial no es establecer las propiedades de un conjunto específico de axiomas. En cambio, es establecer las condiciones que debe cumplir un objeto para ser considerado un espacio vectorial. La ventaja de hacer las cosas de esta manera es que, si demostramos algún teorema sobre un espacio vectorial abstracto, entonces debe ser válido para cada espacio vectorial en particular.

Por ejemplo, considere el conjunto de números reales positivos como un espacio vectorial sobre [math] \ mathbb {R} [/ math] con [math] u + v: = uv [/ math] y [math] \ alpha \ cdot v : = v ^ \ alpha [/ math]. Esto satisface los axiomas del espacio vectorial, por lo que cualquier teorema sobre los espacios vectoriales en general también debe ser válido.

Answer 4

Las operaciones básicas se definen de manera diferente para diferentes tipos de espacios vectoriales.

Por ejemplo, la vista estándar de vectores como “flechas” que se agregan poniéndolos de frente (la llamada “regla de paralelogramo”) es una regla de adición diferente que se usa para vectores en [matemáticas] \ Bbb {R } ^ 4 [/ matemáticas].

No es inmediatamente aparente que la regla del paralelogramo sea asociativa o conmutativa, o que se distribuya con multiplicación escalar. Lo hace, por lo que nos sentimos libres de llamarlo “adición”, pero es necesario demostrar que lo hace.

Pero el punto principal de los axiomas es que nos permite probar cosas sobre cualquier estructura que satisfaga esos axiomas, sin tener en cuenta la estructura específica. Si puedo tomar una estructura y demostrar que satisface los axiomas de un espacio vectorial, entonces inmediatamente sé mucho sobre él, incluso si es fundamentalmente muy diferente a cualquiera de los espacios vectoriales “estándar”.

Answer 5

El concepto de un “espacio vectorial” es general. Puede haber espacios vectoriales donde alguna otra función juega el papel que juega la adición regular de números en los ejemplos simples de un espacio vectorial. Los axiomas le dicen lo que debe ser cierto de esta otra función para que este nuevo sistema, con la otra función en lugar de adición, sea un espacio vectorial.