¿Cuál es la conexión entre el Axioma de Elección y la existencia de una base para un espacio vectorial?

Answer 1

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel, el Axioma de Elección es equivalente a la afirmación de que “cada espacio vectorial tiene una base”. Es decir, puede probar uno del otro.

Hice un bosquejo de una prueba de que el Axioma de Elección implica que cada espacio vectorial tiene una base aquí: la respuesta de Senia Sheydvasser a ¿Cómo pruebo que cada espacio vectorial tendrá una base?

La declaración inversa fue probada por Andreas Blass en 1984: http://www.math.lsa.umich.edu/~a….

Cabe señalar que hay muchos espacios vectoriales que puede probar que tienen bases incluso sin el Axioma de elección. En particular, si sabe que su espacio vectorial se genera finitamente sobre el campo en cuestión (es decir, hay un conjunto de expansión finito), entonces siempre puede construir una base.

El problema entra cuando tienes espacios vectoriales que no se generan de forma finita. Algunos claramente tienen una base: tome el conjunto de polinomios, por ejemplo. Por otro lado, considere el conjunto de números reales. Estos son un espacio vectorial sobre los racionales, pero no hay una forma obvia de construir una base. El Axioma de elección le dirá que hay una base, pero no le permitirá construirlo explícitamente. Si rechaza la CA, existen otras teorías establecidas en las que los reales no tienen una base sobre los racionales.

Answer 2

Senia ha respondido la pregunta, pero déjame agregar algunos detalles más.

Si inspeccionas de cerca la prueba de Blass, verás que para concluir que el Axioma de Elección es válido, su prueba requiere la existencia de bases en espacios sobre campos de clase múltiple. De hecho, Blass toma un conjunto [matemático] X [/ matemático] y luego considera el anillo de polinomios con variables libres del conjunto [matemático] X [/ matemático] (de modo que si [matemático] X [/ matemático] es incontable, tenemos innumerables variables libres) y luego pasa al campo de fracciones, que es el campo de funciones racionales generadas por polinomios en este anillo.

Como no hay ningún conjunto que contenga todos los conjuntos, este procedimiento produce una clase adecuada de campos que deben tenerse en cuenta. Por lo tanto, la siguiente pregunta natural se deja abierta:

¿Existe un campo [math] k [/ math] tal que la afirmación ‘cada espacio de vector [math] k [/ math] tiene una base’ implica el Axioma de Elección?

Hay un resultado parcial de Keremedis para el campo de dos elementos:

K. Keremedis, Bases para espacios vectoriales sobre el campo de dos elementos y el axioma de elección, Proc. Amer Matemáticas. Soc. 124 (1996), no. 8, 2527-2531.