Si [math] R = \ begin {bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {bmatrix} [/ math] es una base para [math] R ^ 3, [/ math] entonces es [math] S = \ ¿comienza {bmatrix} v_1 + v_2 \\ v_2 + v_3 \\ v_3 + v_1 \ end {bmatrix} [/ math] también una base para [math] R ^ 3 [/ math]?

Conjunto

[matemáticas] \ vec {u} _1 = \ vec {v} _2 + \ vec {v} _3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vec {u} _2 = \ vec {v} _1 + \ vec {v} _3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vec {u} _3 = \ vec {v} _1 + \ vec {v} _2 [/ matemáticas]

Entonces la clave es definir

[matemáticas] \ vec {s} = \ frac {1} {2} (\ vec {u_1} + \ vec {u_2} + \ vec {u_3}) = \ vec {v_1} + \ vec {v_2} + \ vec {v_3} [/ math]

Entonces puedes encontrar fácilmente que

[matemáticas] \ vec {v_1} = \ vec {s} – \ vec {u_1} = \ frac {1} {2} (\ vec {u_2} + \ vec {u_3} – \ vec {u_1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vec {v_2} = \ vec {s} – \ vec {u_2} = \ frac {1} {2} (\ vec {u_1} + \ vec {u_3} – \ vec {u_2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vec {v_3} = \ vec {s} – \ vec {u_3} = \ frac {1} {2} (\ vec {u_1} + \ vec {u_2} – \ vec {u_3}) [/ matemáticas]

Esto significa que la matriz de conversión inversa es

[matemáticas] \ begin {bmatrix} – \ frac {1} {2} & \ frac {1} {2} & \ frac {1} {2} \\ \ frac {1} {2} & – \ frac { 1} {2} y \ frac {1} {2} \\ \ frac {1} {2} y \ frac {1} {2} y – \ frac {1} {2} \ end {bmatrix} [/ matemáticas]