¿Cuál es la diferencia entre ‘matriz inversa’ y ‘matriz transpuesta’?

Answer 1

No hay diferencia…

… si la matriz en cuestión es ortogonal.

Una matriz ortogonal [matemática] M [/ matemática] es una matriz cuadrada que satisface [matemática] M ^ TM = I [/ matemática]. Esto significa que la transposición matricial de [math] M [/ math] (la matriz [math] M [/ math] con sus columnas escritas como filas) multiplicada por la matriz original [math] M [/ math] es igual a matriz de identidad.

Ahora sucede que el inverso de una matriz [matemática] M [/ matemática] es la matriz [matemática] M ^ {- 1} [/ matemática] que, al igual que la matriz transpuesta para una matriz ortogonal, satisface [matemática] M ^ {- 1} M = I [/ matemáticas] también. Sin embargo, esto es solo la mitad de la definición de [matemáticas] M ^ {- 1} [/ matemáticas]. La segunda mitad requiere [matemática] M ^ {- 1} [/ matemática] para satisfacer también [matemática] MM ^ {- 1} = I [/ matemática]. Tanto [math] M ^ {- 1} M = I [/ math] como [math] MM ^ {- 1} = I [/ math] deben mantenerse en orden para [math] M ^ {- 1} [/ math] para ser el inverso de [math] M [/ math].

Para una matriz ortogonal [matemática] M [/ matemática], entonces, [matemática] M ^ {- 1} = M ^ T [/ matemática], es decir, la inversa y la transposición coinciden. Pero tenga en cuenta que dado que [matemática] M [/ matemática] es cuadrada (un requisito para una matriz ortogonal), [matemática] M ^ {- 1} M = I [/ matemática] implica inmediatamente [matemática] MM ^ {- 1} = I [/ math] también (¿por qué?), Entonces [math] MM ^ T = I [/ math] también.

Esto no es cierto para ninguna otra matriz. Para cualquier matriz no ortogonal [matemática] M [/ matemática], [matemática] M ^ {- 1} [/ matemática] no existe o no es igual a [matemática] M ^ T [/ matemática].

Answer 2

A2A gracias.

La transposición de una matriz es simplemente cambiar las columnas a filas o viceversa.

Por ejemplo.

Inverso de una matriz.

Existe una matriz inversa A-1 para una matriz, digamos A si

A A-1 = I

Donde yo es la matriz de identidad.

Método general para encontrar el inverso de la matriz am * n, utilizamos el método de eliminación de gauss jordan. Para cualquier matriz m * n dada m = n forme una matriz aumentada [A | I] de modo que tenga los mismos myn de A luego fila reduce la matriz dada.

Ejemplo.

Algunas características de las matrices invertibles.

Espero que esto ayude.

Referencia

Álgebra lineal y sus aplicaciones por David C Lay 4ta edición.

Answer 3

Las matemáticas me duelen la cabeza, así que utilizo un software que piensa más mejor que yo.

Pragmáticamente, el paquete de software Matrix Laboratory de Mathworks estándar de la industria llamado MATLAB le permite conectar y cambiar matrices como si fuera René Descartes o Carl Friedrich Gauss en Adderall

Puede obtener MATLAB al inscribirse en el curso de robótica Penn de edX.org.

Si tus cálculos manuales o matemática mental producen la misma respuesta que MATLAB, eres G2G (listo). Los signos de% de porcentaje son líneas de comentarios. Este simple ejemplo es una matriz de 2 × 2.

A = [[3,3], [-4, 5]]

A = [3 3; 4 5];
% 3 3
% 4 5
det (A)
% determinante = 3
transponer (A)
% 3 4
% 3 5
inv (A)
% 1.6667 -1.0000
% -1.3333 1.0000
% A ^ -1 = [[5/3, -1], [-4/3, 1]]

Como otros han mencionado, Transponer es fácil: intercambiar filas y columnas. Una matriz 3 × 4 se convierte en una matriz 4 × 3.

Encontrar el inverso de una matriz a mano no es tan fácil, requiere cuatro pasos usando términos más allá del alcance de los simples mortales, como los determinantes y los adjuntos. Haga clic en el enlace del sitio web Math is Fun a continuación para el proceso, o simplemente use la función inv () en MATLAB.

Inverso de una matriz con menores, cofactores y adyuvante

Answer 4

Si tiene una matriz [matemática] A [/ matemática], entonces la transposición [matemática] A ^ \ top [/ matemática] es la matriz donde intercambia las filas y columnas de A. La matriz inversa [matemática] A ^ { -1} [/ math] es la matriz por la que tienes que multiplicar la matriz A para obtener la matriz de identidad.

Answer 5

Las respuestas hasta ahora son largas o demasiado incompletas para mi gusto …

Puedes transponer cualquier matriz. Simplemente cambie las filas y las columnas.
Una matriz tiene un inverso si y solo si es cuadrada y no degenerada . Este inverso es único.
La inversa de una matriz ortogonal es su transposición. Estas son las únicas matrices cuyas inversas son las mismas que sus transposiciones.

Una matriz puede tener solo inversas izquierdas o solo inversas derechas. Tenga en cuenta los plurales: las matrices izquierda y derecha no son, en general, únicas.

Se pueden encontrar más detalles y definiciones mediante una búsqueda en Internet: Wikipedia es actualmente confiable en este tema.

Answer 6

Matriz inversa es inversa a todos los elementos de la matriz, por ejemplo: A = [[3,3] [4,5]]

A ^ -1 = [[1/3, 1/3], [1/4, 1/5]]

Sin embargo, la transposición debe reflejar A sobre su diagonal principal, usualmente se usa en la multiplicación de matrices