¿Por qué los vectores solo tienen dos grados de libertad de rotación?

Answer 1

En general, este no es el caso: si tiene un vector con n componentes reales, no hay 2, sino más bien n-1 grados de libertad. Para estar seguros, los vectores en un espacio real tridimensional tienen 2 grados de libertad de rotación. Hay algunas formas de explicar por qué este es el caso. Creo que lo más intuitivo es la siguiente explicación, aunque su lógica es bastante circular (perdón por el juego de palabras).

Si deja que la cola de su vector sea el origen (como se considera a menudo, entonces todas las rotaciones de su vector en el espacio tridimensional están contenidas en alguna esfera con radio igual a la longitud de su vector. Es decir, cada punto en una esfera es un diferente rotación que puede hacer de su vector para que la cabeza termine en ese punto.

Dado que una esfera se puede parametrizar en términos de solo dos ángulos, cada punto, que es exactamente una rotación de su vector, viene dado por esos dos ángulos. Esto es coordenadas esféricas. Esto es posible porque la esfera es lo que se llama un múltiple múltiple. Localmente, la superficie se ve como un espacio plano bidimensional.

Para un vector en 2 dimensiones, solo hay un grado de libertad de rotación ya que traza un círculo. En general, un vector n-dimensional trazará una esfera n-1 dimensional (un colector n-1) para que haya n-1 grados de rotación.

Aquí hay una explicación menos circular que requiere un poco de álgebra lineal.

Primero recuerde que para un espacio vectorial de dimensión finita de dimensión n, un conjunto de vectores de tamaño más pequeño ( mínimo ) contiene n vectores y siempre es una base. Además, si tiene un solo vector, puede extenderse con n-1 otros vectores linealmente independientes en el espacio para formar uno de esos conjuntos de expansión mínima. Cada uno de esos vectores n-1 combinados individualmente con su vector original abarca un plano único. Dado que uno puede rotar con un grado de libertad en ese plano, y cada uno de estos planos es único debido a la independencia lineal de los vectores de base, existen n-1 grados de libertad de rotación, cada uno correspondiente a la rotación dentro de uno de esos planos únicos. cuando n = 3, esto nos da 2 grados de libertad.

Espero que tenga sentido

Answer 2

Los vectores tienen tantas direcciones para señalar como lo permite el espacio. Si está en una recta numérica, la única pregunta es si va “hacia adelante” (en la dirección positiva) o “hacia atrás” (negativo). En consecuencia, si desea especificar una ubicación particular en la línea numérica, es suficiente para proporcionar un solo número. Si está en el número “2”, entonces solo necesita dar esa única información, y eso es todo lo que hay que saber sobre dónde se encuentra en ese momento.

Si estás en un espacio bidimensional como una mesa o un trozo de papel, entonces el vector puede rotar; a veces, dicho vector se especifica diciendo que tiene una cierta longitud, junto con una determinada dirección. Esto es más libertad que simplemente decir “hacia adelante” o “hacia atrás”, ya que ahora tiene un ángulo completo de ángulos para moverse. Sin embargo, tenga en cuenta que cuando aumenta el número de dimensiones de uno a dos, de repente necesita dos datos para especificar cualquier ubicación; decir el número “2” ya no te dice una ubicación, sin decir también en qué ángulo estás. (También puede usar coordenadas “rectangulares” o “cartesianas”, que simplemente indican qué tan lejos está en la horizontal y también qué tan lejos está en la vertical, como si todo estuviera dividido en una cuadrícula).

En tres dimensiones, hay tres piezas de información necesarias para especificar cualquier ubicación. Al igual que con dos dimensiones, hay más de una forma de escribir esta información: puede especificar tres longitudes, a lo largo de la longitud, el ancho y la profundidad (“x, y y z”), o puede especificar una longitud junto con dos ángulos Tengo la sensación de que esto es de lo que estabas hablando. ¿Por qué son necesarios dos ángulos? Después de todo, un solo ángulo era lo suficientemente bueno en dos dimensiones. Esta pregunta se puede responder de dos maneras diferentes; desde la perspectiva del álgebra lineal, al ser un espacio tridimensional significa que necesita tres piezas de información, y una longitud más un solo ángulo no es suficiente. Pero también, ahora piense en decir “5 lejos del origen, en un ángulo de 45 grados” para especificar una ubicación en el espacio tridimensional. 45 grados de distancia de qué ? Digamos que está lejos del eje x positivo. El problema es que hay muchas ubicaciones que están a 5 del origen y a 45 grados del eje x positivo. (Si puede pensar visualmente, puede imaginarlo como un círculo centrado alrededor del eje x. Pero si también especifico un cierto número de grados lejos de otro eje, entonces lo reduce a una sola ubicación.

El hecho de que sean necesarios dos ángulos para especificar cualquier ubicación en el espacio tridimensional es la razón exacta por la cual los vectores tienen “solo”, es decir, exactamente, dos grados de libertad de rotación. Si tuvieran más, entonces estarías indicando información redundante o contradictoria. Si tuvieran menos, entonces no tendrías suficiente información.

Answer 3

La longitud de un vector no afecta su dirección, por lo que podemos detectar si dos vectores tridimensionales [math] \ vec {v}, \ vec {w} [/ math] apuntan en la misma dirección al escalarlos a ambos mismo largo. Si los vectores escalados son iguales, entonces [math] \ vec {v} [/ math] y [math] \ vec {w} [/ math] deben apuntar en la misma dirección. Por el contrario, si los vectores escalados no son iguales, entonces [math] \ vec {v} [/ math] y [math] \ vec {w} [/ math] deben apuntar en diferentes direcciones. Por ejemplo, podríamos escalar ambos a una longitud de uno. Entonces tendrían la misma dirección si y solo si [matemáticas] \ frac {\ vec {v}} {| \ vec {v} |} = \ frac {\ vec {w}} {[/ matemáticas] | [matemáticas ] \ vec {w} [/ math] | [math]} [/ math].

Un vector unitario es lo mismo que un punto en la esfera unitaria, por lo que una dirección es lo mismo que un punto en la esfera unitaria. La esfera es una superficie, por lo que es bidimensional. Esto le da a los vectores tridimensionales dos grados de libertad de rotación.

Answer 4

Los vectores tridimensionales tienen dos grados de libertad de rotación que se pueden representar completamente combinando una rotación horizontal con una rotación vertical.

Esto se puede demostrar describiendo cómo encontrar algo en el espacio. Podemos describir dónde se encuentra algo diciendo “Gire a la izquierda hasta que esté mirando hacia el noroeste, luego mire hacia arriba aproximadamente a la 1 en punto y lo verá”. La dirección de la brújula da la rotación horizontal y la dirección del reloj da la rotación vertical .

Answer 5

La rotación significa esencialmente “no se permite la reducción / expansión”. La reducción / expansión es un grado de libertad. En el espacio N-dimensional, generalmente tiene N grados totales de libertad; eliminarlo te da N-1 (o, en 3-d espacio, 2) grados de libertad.

Answer 6

Una rotación, en cualquier dimensión, es una transformación (multi) lineal. Por esta razón, está completamente y únicamente definido por una base. Si tenemos un objeto n-dimensional que vive en un espacio n-dimensional, la rotación de este objeto se definirá completamente en n vectores básicos. En su caso, que supongo que es el de las rotaciones de una esfera que vive en 3 espacios, la esfera es bidimensional, por lo que tendrá 2 grados de libertad para definir una transformación bi-lineal.

Answer 7

En un espacio pre-Hilbert de 3 dimensiones, ese es el caso de cada vector distinto de cero.

Simplemente porque 2 vectores que son ortogonales entre sí también son lineales independientes.

Para que pueda obtener una base ortogonal que incluya ese vector.