¿Puedo dividir una matriz por otra?

Answer 1

¡Esta es una muy buena pregunta! No puede dividir matrices per se, pero puede multiplicar una matriz invertible por su inverso.

En el caso de la división tradicional en los números reales, [matemática] \ frac {3} {2} [/ matemática] es lo mismo que multiplicar [matemática] 3 [/ matemática] por el inverso multiplicativo de [matemática] 2 [/ matemática], que es [matemática] 1/2 = 2 ^ {- 1} [/ matemática].

[matemáticas] \ frac {3} {2} = 3 \ cdot \ frac {1} {2} = 3 \ cdot 2 ^ {- 1}. [/ math]

Ahora tome dos matrices invertibles [matemáticas] n \ veces n [/ matemáticas] [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas]. En cierto modo, puedes definir la división como

[matemáticas] \ frac {A} {B} = AB ^ {- 1} [/ matemáticas]

donde multiplicación es multiplicación matricial y [matemáticas] B ^ {- 1} [/ matemáticas] es el inverso multiplicativo de [matemáticas] B [/ matemáticas] (es decir, [matemáticas] BB ^ {- 1} = I_n [/ matemáticas], la matriz de identidad). Nota: es esencial que ambas matrices sean [matemáticas] n \ veces n [/ matemáticas] para que pueda multiplicarlas (aunque hay algunas generalizaciones especiales para las matrices [matemáticas] m \ veces n [/ matemáticas]). Además, la multiplicación de matrices generalmente no es conmutativa, por lo que [matemática] AB ^ {- 1} \ neq B ^ {- 1} A [/ matemática], a diferencia de [matemática] 3 \ cdot 2 ^ {- 1} = 2 ^ { -1} \ cdot 3 [/ math]. ¡Así que ten cuidado!

De todos modos, ¡sigue haciendo estas preguntas! Esta es la motivación principal para uno de los grupos más útiles en álgebra: el grupo lineal general, [matemáticas] GL_n (R) [/ matemáticas], donde [matemáticas] R [/ matemáticas] es generalmente un anillo o un campo.

Answer 2

Reformulemos esta pregunta para números reales.

“¿Puedo dividir un número real por otro?”

La respuesta es:

“Sí, siempre y cuando el segundo número real no sea [matemática] 0 [/ matemática]”.

¿Por qué se excluye [math] 0 [/ math]? Porque [math] 0 [/ math] no tiene inverso multiplicativo . Esto significa que la ecuación [matemáticas] 0 \ veces x = 1 [/ matemáticas] no tiene soluciones. De hecho, si existiera tal solución, entonces [math] x [/ math] habría sido este inverso multiplicativo. Y sucede que, en el ámbito de los números reales, solo el número [matemáticas] 0 [/ matemáticas] carece de un inverso multiplicativo.

Lo que generalmente escribimos como “[matemáticas] 16 \ div 8 = 2 [/ matemáticas]” o como “[matemáticas] \ dfrac {16} {8} = 2 [/ matemáticas]” en realidad significa “[matemáticas] 16 [/ matemática] multiplicada por el inverso multiplicativo de [matemática] 8 [/ matemática] es [matemática] 2 [/ matemática] ”. El inverso multiplicativo de [math] 8 [/ math] a veces se denota por [math] 8 ^ {- 1} [/ math]. Entonces tenemos [matemáticas] 16 \ veces 8 ^ {- 1} = 2 [/ matemáticas]. Pero esta no es una notación muy común para dividir dos números reales, aunque sea correcta.

Ahora volvamos a las matrices.

“¿Puedo dividir una matriz por otra?”

La respuesta es la misma:

“Sí, siempre y cuando la segunda matriz tenga un inverso multiplicativo”.

Como en el caso de los números reales, una matriz [matemática] M [/ matemática] no tiene inverso multiplicativo si la ecuación [matemática] MX = I [/ matemática] no tiene soluciones (para [matemática] X [/ matemática]), donde [math] I [/ math] es una matriz de identidad compatible (en el sentido de multiplicación). Si tal solución existiera, entonces [matemática] X [/ matemática] habría sido este inverso multiplicativo. Para las matrices, sin embargo, hay más de una matriz que carece de un inverso multiplicativo.

Simplemente sucede que es mucho más común escribir

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 8 & -1 \\ 22 & -5 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \ end {pmatrix} ^ {\! – 1} = \ begin {pmatrix} 1 y 2 \\ 5 y 4 \ end {pmatrix} [/ math]

más bien que

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 8 y -1 \\ 22 y -5 \ end {pmatrix} \ div \ begin {pmatrix} 2 y -1 \\ 3 y 0 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 y 2 \\ 5 y 4 \ end {pmatrix} [/ math]

o

[matemática] \ dfrac {\ begin {pmatrix} 8 & -1 \\ 22 & -5 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \ end {pmatrix}} = \ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \ end {pmatrix}. [/ math]

Esto no significa que no exista división de matrices. Por el contrario, generalmente se denota de una manera diferente.

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Anexo : Me gustaría agregar una posible razón por la cual la división de matrices se escribe de una manera no convencional.

Recuerde que las matrices, en general, no son conmutativas con respecto a la multiplicación. Esto significa que [math] AB \ ne BA [/ math] en general si [math] A [/ math] y [math] B [/ math] son ​​matrices (de hecho, una de [math] AB [/ math] o [matemática] ¡BA [/ matemática] podría incluso no existir!). Por supuesto, [matemáticas] xy = yx [/ matemáticas] para todos los números reales [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]. Por ejemplo, como dijimos antes,

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 8 & -1 \\ 22 & -5 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \ end {pmatrix} ^ {\! – 1} = \ begin {pmatrix} 1 y 2 \\ 5 y 4 \ end {pmatrix} [/ math]

pero

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \ end {pmatrix} ^ {\! – 1} \ begin {pmatrix} 8 & -1 \\ 22 & -5 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ frac {22} {3} & – \ frac {5} {3} \\ \ frac {20} {3} & – \ frac {7} {3} \ end {pmatrix} [/ matemáticas]

Si usáramos la notación habitual para la división, no sabríamos si estamos dividiendo desde la izquierda o desde la derecha, en cierto sentido. Esta puede ser una razón por la cual la división de matrices se escribe de esta manera.

Answer 3

Primero debes saber que la división no es una operación. Solo es corto para multiplicar por el inverso. Dado que para los números reales cada número distinto de cero tiene un inverso, la división se convierte en una operación. Pero para otras estructuras matemáticas como matrices o vectores en general, no siempre hay una inversa, entonces no hay división “definida”.

Answer 4

No. Pero puedes multiplicar una matriz por inversa de otra.

(Corto y dulce: b)

Answer 5

No. No existe tal regla de dividir una matriz por otra matriz. Pero puede sumar, restar y multiplicar una matriz por otra.