¿Cuál es la importancia del subespacio en el espacio vectorial?

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Estoy respondiendo la pregunta:

¿Cuál es la importancia del subespacio en el espacio vectorial?

Esta parte de la respuesta es de mi blog:

Un conjunto de vectores ( v 1 , v 2 ,…, vn ) ∈ V , dotados de la suma vectorial V × V → V;

(es decir, un elemento que el espacio agrega ( × ) con otro elemento del espacio para generar un elemento en el mismo espacio); y multiplicación escalar R • V → V;

(donde R es el conjunto de números reales cuando se multiplica ( • ) con cualquier elemento del espacio para generar un elemento en el mismo espacio) se dice que forma un espacio vectorial si se cumplen los siguientes axiomas:

1. u × v = v × u
2. u × (v × w) = (u × v) × w
3. Existe un cero, tal que u × 0 = 0 × u = u
4. Existe un inverso, tal que u × (-u) = (-u) × u = 0
5. λ • (u × v) = λ • u × λ • v
6. ( λ × δ ) • u = λ • u × δ • u
7. λ • ( δ • u) = λ δ • (u)
8. u • 1 = u

Donde u, v, w ∈ V y λ , δ ∈ R. Cualquier espacio que satisfaga los axiomas anteriores de
(i) a (viii) forma un espacio vectorial y los elementos u, v, w son vectores en el
espacio v . Entonces, al definir un espacio vectorial, estamos definiendo un conjunto de axiomas (amablemente
nota, ‘ × ‘ se define como la suma de vectores y ‘ • ‘ se define como la multiplicación escalar
operación) para que exista un espacio lineal. Por lo tanto, en este espacio, estamos dotando a todos
posibles operaciones lineales en este espacio. Ahora, uno puede definir el espacio interno del producto (IPS), que es un subespacio del espacio vectorial, dotado de una función de valor escalar f : V × V → R llamada producto interno, que trae el representación geométrica y ángulo entre dos vectores denotados por:

u · v = | u || v | cos θ

donde | u | y | v | denota la norma de los dos vectores u y v y θ es el ángulo entre ellos. Para que un espacio sea un IPS, los vectores deben conmutar sobre el producto interno. es decir,

u · v = v · u

u · (v × w) = u · v × u · w

λ (u · v) = λu · λv

u · u ≥0

Nuevamente, tenga en cuenta que el operador ‘×’ representa la suma de vectores como se dijo anteriormente y u, v, w ∈ V y λ ∈ R. Entonces, un espacio vectorial normalizado es un subespacio de un espacio interno del producto que nuevamente es un subespacio de un vector espacio.

Tenga en cuenta que los subespacios de los espacios vectoriales deben satisfacer algunos otros axiomas fundamentales aparte de los 8 axiomas para que el subespacio sea un espacio vectorial en primer lugar.

El espacio vectorial y sus subespacios son construcciones matemáticas que sientan las bases del cálculo vectorial o de orden superior.

Básicamente se definen de tal manera.

Uno es libre de definir su propio espacio, solo que debe reescribir y razonar todo el cálculo en su espacio. Y ahi tienes.

Gracias por A2A Uttåm.