¿Por qué no podemos dividir matrices?

Answer 1

En un anillo [matemática] R [/ matemática], [matemática] a [/ matemática] es un divisor izquierdo de [matemática] b [/ matemática] si existe otro elemento [matemático] c \ en R [/ matemático] tal que [matemáticas] ac = b [/ matemáticas]. Además, [math] x [/ math] es un divisor derecho de [math] y [/ math] si existe otro elemento [math] z [/ math] tal que [math] zx = y [/ math]. En un anillo conmutativo (un anillo es conmutativo si [matemáticas] ab = ba [/ matemáticas] para todos [matemáticas] a, b [/ matemáticas] en el anillo), los divisores izquierdo y derecho coinciden, y hablamos únicamente de divisores . Por ejemplo, en los enteros, [math] 6 [/ math] es un divisor de [math] 12 [/ math], porque [math] 6 \ times 2 = 2 \ times 6 = 12 [/ math]. A veces escribimos esto como [math] \ dfrac {12} {6} = 2 [/ math].

Las matrices no son un anillo conmutativo: [matemática] AB \ ne BA [/ matemática] para matrices [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] en general. Entonces las matrices tienen divisores izquierdo y derecho que, en general, son diferentes. Debido a esto, podemos “dividir a la izquierda” y “dividir a la derecha” matrices, pero no podemos, en general, “dividir” a las matrices.

Por ejemplo, [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & -2 \ end {pmatrix} [/ math], entonces [math] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ math] es un divisor izquierdo de [matemáticas] \ begin {pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & -2 \ end {pmatrix} [/ math]. Por otro lado, [matemáticas] \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & -2 \ end {pmatrix} [/ math] no tiene soluciones, de lo contrario [math] 2 = -2 [/ math]. Entonces [math] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ math] no es un divisor derecho de [math] \ begin {pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & -2 \ end {pmatrix} [/ math]. Sin embargo, [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math], entonces [math] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ math] es en realidad un divisor derecho de [ math] \ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]. La matriz [math] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ math] también es un divisor izquierdo de [math] \ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] (¿puede dar una matriz de ejemplo [math] M [/ math] que satisfaga [math] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} M = \ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]?)

¡Sí, en matrices, la matriz cero tiene divisores izquierdo y derecho!

Answer 2

Para dos números reales, [matemática] a, b [/ matemática] definimos la división de [matemática] a [/ matemática] por [matemática] b [/ matemática] como un producto de [matemática] a [/ matemática] y el inverso multiplicativo de [math] b [/ math], siempre que exista el inverso multiplicativo.

Definimos el inverso multiplicativo de [math] b [/ math] como el número real único, [math] x [/ math], de modo que un producto de [math] b [/ math] y [math] x [/ matemática] es la identidad multiplicativa, [matemática] 1 [/ matemática], siempre que dicho número exista.

Para las matrices, la definición de división es idéntica a la que mencioné anteriormente si cambiamos solo “números reales” a “matrices”. Una diferencia clave en la implicación de la definición es que, como la multiplicación de matrices no es conmutativa, un producto puede significar un producto izquierdo o derecho, por lo que obtenemos la división izquierda y derecha.

La definición de inverso multiplicativo también es la misma si solo cambiamos “número real” a “matriz” y cambiamos la identidad de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] I [/ matemáticas]. Una diferencia importante en las implicaciones de la definición de matrices es que no existe inversa multiplicativa en muchos más casos que solo cero (que es la única excepción entre los números reales). Cualquier matriz no cuadrada no tiene inversa. Entre las matrices cuadradas, aquellas con determinante cero no tienen inversa.

Por lo tanto, ciertamente puede definir la división para matrices, incluso dos tipos. Pero hay más restricciones sobre cuándo se puede definir.

Answer 3

Para dos matrices [math] n \ times n [/ math], [math] A [/ math] y [math] B [/ math], donde el determinante de [math] B [/ math] no es cero, puede evaluar [matemática] AB ^ {- 1} [/ matemática] o de hecho [matemática] B ^ {- 1} A [/ matemática] que es diferente.

Answer 4

Leí esto en un foro de matemáticas,
Lo citaría aquí:

De: Doctor Ricky
Tema:
Dividiendo Matrices
Hola Randy, en realidad, la división matricial no es posible. Podemos sumar, restar, multiplicar y exponer matrices, pero no podemos dividir dos matrices. Esto se debe a una idea llamada singularidad matricial, que surge de una rama de las matemáticas llamada álgebra lineal. Si una matriz es singular, eso significa que solo tiene una solución posible (algo que necesitamos para definir algo explícitamente) que es cierto en la suma, resta, multiplicación y exponenciación de la matriz, pero no en la división. Un ejemplo de esto es básico. Dejar
A = [1 0]
[1 0]
y dejar que A * B sea igual a la matriz cero para alguna matriz B. es decir
[1 0] * B = [0 0]
[1 0] [0 0]
Si existiera división matricial, eso significaría que solo habría una matriz B que haría que eso fuera cierto (es decir, B sería singular). En otras palabras,
B = [0 0]
[0 0] por falta de una mejor notación
——-
[1 0]
[1 0] Sin embargo, podemos encontrar un par de ejemplos diferentes que funcionen para B.
es decir, B = [0 0] o B = [0 0] ambos funcionan (puede verificar).
[0 0] [1 1]
Por lo tanto, dado que no hay una sola respuesta posible, no tendría sentido o sería posible definir la división matricial. Espero que esto haya respondido a su pregunta, pero si tiene más preguntas, ¡hágamelo saber! – Doctor Ricky, El Foro de Matemáticas El Foro de Matemáticas – Pregúntele al Dr. Math

Answer 5

En realidad podemos …
En reales, a / b no es más que (a) (b inverso)
Ahora en matrices
A / B no es más que (A) (B inversa)
Y B inversa existe si B es una matriz invertible.
En la línea real, cada elemento distinto de cero tiene un inverso (porque la línea real es un campo) y, por lo tanto, la división es un proceso trivial.
Pero en el caso de las matrices esto puede no ser válido.
Entonces, podemos decidir matrices si existe inversa.

Answer 6

A veces puede dividir la matriz: consulte para obtener más detalles http://math.stackexchange.com/qu …

Answer 7

Podemos multiplicarlos con sus inversas. Entonces, la composición de una matriz y su inverso dan la matriz de identidad.

Answer 8

Podemos. Si la matriz A define una asignación lineal, la matriz A ^ -1 define la asignación inversa. Sin embargo, no todas las matrices lo tienen.