¿Todas las matrices tienen un inverso multiplicativo?

Answer 1

No. Una matriz cuadrada es regular o singular. Las matrices regulares se caracterizan por cualquiera de las siguientes propiedades:

• Tener un inverso multiplicativo
• Tener rango completo
• Tener un determinante distinto de cero
• Representando una transformación lineal que es sobreyectiva (en)
• Representando una transformación lineal que es inyectiva (uno a uno).

Por ejemplo, una matriz [math] 2 \ times 2 [/ math]

[matemáticas] \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} [/ math]

tiene un inverso precisamente cuando [math] ad-bc \ neq 0 [/ math].

Si las entradas de una matriz son números reales o complejos elegidos al azar usando alguna distribución de probabilidad (no atómica), la mayoría de las matrices resultarían regulares (probabilidad 1). Sin embargo, para muchas aplicaciones, son precisamente las singulares las que son de interés.

Answer 2

NO

Información adicional –

Si genera n ^ 2 números al azar y forma una matriz a partir de estos números, entonces esa matriz tendrá inverso multiplicativo con probabilidad 1.