Supongo que está familiarizado con el álgebra lineal. Navegando hacia la ciencia cuántica, extienda las ideas del álgebra lineal, los estados físicos de un sistema mecánico cuántico se representan como rayos (vectores) en un espacio interno abstracto de Hilbert . Los sistemas de mecánica cuántica son sistemas complejos y no pueden interpretarse con ciencia macroscópica. No tiene sentido visualizar un sistema mecánico cuántico como algo observable y medible. Por lo tanto, siéntase cómodo con la representación vectorial de los estados.
El espacio de Hilbert es un espacio vectorial normado en el que se define el concepto de un producto interno. Es de dimensión infinita. Es complejo. El espacio vectorial real es un subconjunto del espacio de Hilbert. En el entorno de la ciencia cuántica, la notación ket muestra un vector. Entonces, si queremos escribir un estado mecánico cuántico [math] \ psi [/ math], lo escribiríamos como [math] | \ psi> [/ math]. Este espacio vectorial es lineal.
Al igual que tenemos vectores de base en el álgebra lineal del espacio vectorial real, dados como i , j yk , tenemos vectores base en el espacio de Hilbert. Como de costumbre, estos vectores básicos se pueden elegir de forma ortonormal, por ejemplo = [math] \ delta_ {mn} [/ math]. Son linealmente independientes.
[math] [/ math] y [math] [/ math] es el interno producto.
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En la computación cuántica práctica, los qubits son físicos. Por su rigurosa representación matemática, los qubits son estados cuánticos. Se originan a partir de dos vectores (| 0> y | 1>), que eventualmente se denominan vectores base para la base computacional en la computación cuántica. Estos vectores de estado tienen una representación de vector de columna para formulación matemática:
[matemáticas] | 0> [/ matemáticas] = transposición ([1 0])
[matemáticas] | 1> [/ matemáticas] = transposición ([0 1])
Más que esto, los vectores de estado pueden combinarse para hacer otro estado que también está representado por un nuevo vector de estado. Se obtiene mediante un producto Kronecker ⊗ de los dos vectores. [matemática] | 00> [/ matemática] = [matemática] | 0> [/ matemática] ⊗ [matemática] | 0> [/ matemática] significa que el sistema cuántico combinado ahora consiste en dos sistemas cuánticos juntos y | 00> es la representación vectorial del nuevo estado.
El propósito de los vectores base es gobernar una transformación lineal. Si necesitamos cambiar el estado de un sistema, básicamente necesitamos cambiar sus vectores de estado. Un vector se transforma en otro vector a través de una operación de transformación lineal. En esencia, un vector [matemática] y [/ matemática] se puede obtener de otro vector [matemática] x [/ matemática] a través de la multiplicación de la matriz [matemática] y = Ax [/ matemática] donde [matemática] A [/ matemática] es el operador de transformación lineal. Esta matriz [matemática] A [/ matemática] sigue algunas reglas para que la transformación requerida se realice correctamente. La regla de transformación [matemáticas] L [/ matemáticas] se aplica como [matemáticas] y = L (x). [/ Matemáticas] Esta regla dice que se aplica una función de transformación lineal [matemáticas] L [/ matemáticas] en el vector [matemáticas ] x [/ math] y almacena el resultado de esta transformación en el vector [math] y [/ math]. Por lo tanto, [matemática] L (x) = Ax [/ matemática]. Lo que hace que la matriz [matemática] A [/ matemática] en realidad provenga de vectores base. Si [matemática] y [/ matemática] es [matemática] n [/ matemática] x [matemática] 1 [/ matemática] entonces [matemática] A [/ matemática] es [matemática] n [/ matemática] x [matemática] n [/ matemáticas] de acuerdo con las reglas de satisfacción de dimensiones de la multiplicación de matrices. Entonces, hay [math] n [/ math] columnas en [math] A. [/ math] Supongamos que los vectores base en este espacio vectorial (donde se está llevando a cabo esta transformación) están dados por [math] e_1 [/ math], [math] e_2 [/ math], … .., [math] e_m [ / math], entonces la primera columna de [math] A [/ math] es [math] L (e_1) [/ math], la segunda columna es [math] L (e_2) [/ math], y así sucesivamente. Así es como se construye la matriz del operador de transformación lineal mediante el uso de vectores base. Aplique la función de transformación lineal a los vectores base, recójalos en forma de columna en una matriz y luego multiplique esa matriz con un vector (o estado) que se transformará linealmente a otro vector (o estado).