En primer lugar, tanto [math] V [/ math] como [math] W [/ math] contienen el elemento neutral para [math] + [/ math] (en adelante, denotado como [math] 0 [/ math]). Entonces [matemática] 0 = 0 + 0 \ en V + W [/ matemática] (porque son subespacios vectoriales …).
Además, para todos [matemática] v_1 + w_1 [/ matemática] y [matemática] v_2 + w_2 [/ matemática] ambos elementos de [matemática] V + W [/ matemática] (donde [matemática] v_i \ en V [/ matemáticas] y [matemáticas] w_i \ en W [/ matemáticas]) y [matemáticas] \ forall \ lambda \ en \ R [/ matemáticas], tenemos
[matemáticas] v_1 + w_1 + \ lambda \ cdot (v_2 + w_2) = (v_1 + \ lambda \ cdot v_2) + (w_1 + \ lambda \ cdot w_2) [/ math].
[matemática] V [/ matemática] y [matemática] W [/ matemática] son subespacios de [matemática] \ R ^ n [/ matemática], tenemos
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[math] (v_1 + \ lambda \ cdot v_2) \ en V [/ math] y [math] (w_1 + \ lambda \ cdot w_2) \ en W [/ math].
Por lo tanto, [math] V + W [/ math] es estable mediante la adición y el producto externo. Por lo tanto, es un subespacio de [matemáticas] \ R ^ n [/ matemáticas].
De hecho, incluso puede probar como ejercicio que [matemática] V + W [/ matemática] es el subespacio generado por [matemática] V \ cup W [/ matemática].