Un vector es básicamente un objeto matemático que existe en el cual se puede sumar y multiplicar por números, llamados escalares (ya que están “escalando” el vector). Una colección de tales objetos se llama espacio vectorial .
En términos menos formales, un vector es un objeto matemático con longitud, llamado módulo y dirección .
Ahora para un ejemplo gráfico ver la figura.
Tienes dos vectores [matemática] v_1 [/ matemática] y [matemática] v_2 [/ matemática] (ignore [matemática] v_3 [/ matemática] por ahora)
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Estos pueden ser representados por coordenadas (asumimos que ambos vectores comienzan en 0, 0)
Estas coordenadas son básicamente la proyección del vector sobre los “vectores unitarios ortogonales” (en este caso, x e y)
entonces:
[matemáticas] v_1 = (x_1, y_1) [/ matemáticas]
[matemáticas] v_2 = (x_2, y_2) [/ matemáticas]
En un mundo con n dimensiones:
[matemáticas] v = (x_1, x_2,…, x_n) [/ matemáticas]
donde [math] x_1, x_2,…, x_n [/ math] son las diversas coordenadas (en 3 dimensiones las llamamos x, y y z, pero también puede llamarlas [math] x_1, x_2 [/ math] y [ matemáticas] x_3 [/ matemáticas].
La “magnitud” o módulo es básicamente la longitud del vector, que se puede calcular a partir de Pitágoras:
[matemáticas] \ vert \ vert v_1 \ vert \ vert = \ sqrt {x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2} [/ matemáticas]
En n dimensiones:
[matemáticas] \ vert \ vert v \ vert \ vert = \ sqrt {x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 +… + x_n ^ 2} [/ matemáticas]
La dirección se puede representar de varias maneras, pero en 2 dimensiones principalmente como el ángulo [matemático] \ alfa [/ matemático] que el vector forma con los ejes x, por ejemplo:
[matemáticas] \ alpha_1 = arctan (\ frac {y_1} {x_1}) [/ matemáticas]
En dimensiones más altas es un poco más complejo expresar la dirección en términos de ángulos. En 3D, debe lidiar con ángulos sólidos y en 4 o más dimensiones aún peor.
Por lo general, es más fácil comparar la dirección de un vector en relación con otro vector o referencia que se encuentra en el mismo plano
Básicamente, las coordenadas del vector le brindan toda la información que necesita para calcular su módulo y su dirección en relación con algún marco de referencia.
Se pueden agregar vectores, en este caso se agregan las coordenadas: por ejemplo, los vectores ayb :
[matemáticas] a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2,…., a_n + b_n) [/ matemáticas]
O en el caso anterior:
[matemáticas] v_3 = v_1 + v_2 = (x3 = x_1 + x_2, y_3 = y_1 + y_2) [/ matemáticas]
Su magnitud será
[matemáticas] \ vert \ vert v_3 \ vert \ vert = \ sqrt {x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2} [/ matemáticas]
y ángulo con respecto a x:
[matemáticas] \ alpha_3 = arctan (\ frac {y_3} {x_3}) [/ matemáticas]