He visto vectores descritos como dirección y magnitud, y también como una matriz unidimensional. ¿Están estos conceptos relacionados de alguna manera, o simplemente son homónimos?

Answer 1

Una n componentes unidimensionales (generalmente matriz vertical) son los componentes de un vector libre una vez que selecciona una base para su espacio métrico (generalmente un espacio euclidiano). Los giros pueden ser por

matrices con determinantes +1, y viceversa

Y si los vectores representan vectores de posición, podrían ser más analogías. Las columnas de la matriz pueden representar incluso coordenadas de puntos y los resultados son más completos e interesantes. Hay mucho material al respecto.

La relación que usted pregunta proviene de la definición del ángulo por el producto escalar (bueno, realmente el producto escalar solo permite conocer el cos del ángulo, los ángulos orientados [matemática] \ alpha [/ matemática] y – [\ alpha] son no es lo mismo. Luego tienes que usar el producto vectorial (en 3 dimensiones está cerca de otro vector, realmente un pseudovector pero con 3 componentes también), pero en otras dimensiones el producto vectorial es algo más complejo

El espacio euclidiano (por supuesto, pensamos mentalmente en 2, y si su geometría de intuición es buena, en 3 dimensiones el espacio de coordenadas incluso sin usar coordenadas), pero el Teorema de Pitágoras puede generalizarse a cualquier espacio n-euclidiano con n un número natural cuando todos los puntos tienen coordenadas cartesianas

y la distancia entre ellos como

El concepto más general del espacio métrico (espacio con puntos, distancia entre este y uniones de puntos que componen lugares geométricos son los espacios métricos

Espacio métrico – Wikipedia

En Física, el espacio que se considera es el espacio de Minkowski para la Relatividad General, supongo que en Internet es el libro original de Einstein, pero en The Classic Theory of Field de Landau http://www.elegio.it/mc2/LandauL…

puedes encontrar en la última parte del libro relatividad general

Aquí el concepto de vector no es un punto, sino que está relacionado con el concepto de punto, como la diferencia de coordenadas. La definición más general de vector en matemática, y puede usar archivos o columnas de números (realmente podría ser cualquier campo de números, pero generalmente son números reales, en relatividad general y física clásica, o números complejos en mecánica cuántica), el Los operadores (rotaciones, traslaciones y todo tipo de isomorfismo con vectores) pueden ser reenviados por tensores (cuyos componentes son matrices o incluso tensor con más de 2 índices)

Pero trato de no mezclar el estudio de vectores geométricos como en la relatividad general con vectores de un espacio de Hilbert. No estudie Hilbert Space (que se usa en QM con vectores en espacios riemann y pseudoriemann, son relaciones pero no son lo mismo, el concepto matemático de vector es más general y no es exclusivo un segmento orientado con libre para traducciones ( los vectores libres en una métrica (o espacio pseudométrico) son más intuitivos). El concepto general de vector implica un módulo pero no es necesario la distancia desde un origen hasta un final de un segmento orientado. Debe decidir qué estudio primero (si desea). Por supuesto, en ambos casos, hay cambio de coordenadas en espacios métricos y cambio de bases en vectores desde un espacio de Hilbert

Comienza con una pregunta muy simple, pero estos conceptos son la base de toda la física en realidad, pero un vector en un espacio de Hilbert representa el estado de un sistema y un vector en geometría (cualquier tipo de geometría) representa la diferencia de las coordenadas de un punto Los libros de referencia son los libros sobre la relatividad general de Einstein para la geometría (o la última parte de Landau que he vinculado) y cualquier libro de mecánica cuántica para vectores en un espacio de Hilbert

Answer 2

Se puede establecer una equivalencia una vez que se selecciona un sistema de coordenadas. Hablando en términos generales, una vez que sepa en qué dirección está “arriba” (y de manera similar “derecha” y “adelante”), puede hablar sobre “cuánto sube este vector”. Eso se convierte en un número que puede ingresar en un “uno- matriz dimensional “.

Yo diría: los vectores físicos (es decir, en el espacio real) generalmente se describen mejor por magnitud y dirección. Los vectores matemáticos se describen mejor de ninguna manera; más bien, se describen mejor como “cosas abstractas que puede agregar”. En la práctica, ambas se trabajan mejor (es decir, las más fáciles para los cálculos) como matrices unidimensionales.

Piénselo de esta manera: cuando pensamos en el número 10, no lo consideramos como “uno seguido de un cero”; esa es una representación del número que usamos únicamente con fines computacionales (porque calcular con “sistemas de lugar” es fácil). Los vectores matemáticos y físicos son más como “el número 10”; las matrices unidimensionales son más como “uno seguido de un cero”.

Answer 3

Son dos formas de ver lo mismo. Este campo se llama álgebra lineal. Cualquier vector en el espacio n puede escribirse como una combinación lineal de vectores básicos que abarcan ese espacio. Dado un conjunto de bases, los coeficientes que definen ese vector en particular se pueden expresar como una columna de números. Esa columna de números es una matriz (nx1).

Las operaciones vectoriales son equivalentes a las manipulaciones matriciales. Una transformación de sistemas de coordenadas vectoriales es equivalente a una multiplicación matricial. Como físico que intentó comprender y resolver estas ideas hace 50 años, esta formulación conocida como álgebra lineal hace que todo tenga sentido.

Este chico lo explica mucho mejor. Esencia de vista previa de álgebra lineal

Answer 4

Ellos están relacionados. Dado un vector como una dirección y una magnitud, uno puede escribir las coordenadas del vector en una matriz. Dado un vector como matriz unidimensional, uno encuentra el punto P cuyas coordenadas son las entradas de la matriz y luego dibuja una flecha desde el origen hasta P.

Por ejemplo, supongamos que se nos dice que un vector bidimensional apunta al noroeste y tiene una longitud [math] \ sqrt {2} [/ math]. La matriz correspondiente es [math] \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} [/ math] donde el 1 superior es la coordenada x de la punta del vector menos la coordenada x de la base del vector, y la parte inferior 1 es la coordenada y de la punta del vector menos la coordenada y de la base del vector. En el otro sentido, si ubicamos el punto [matemática] (1,1) [/ matemática] en el plano xy y dibujamos una flecha desde [matemática] (0,0) [/ matemática] a [matemática] (1 , 1) [/ math] terminamos con un vector con longitud [math] \ sqrt {2} [/ math] que apunta en la dirección noroeste.

Answer 5

Hay una relación real Por dualidad, vector y tensores son equivalentes (“no naturalmente”), en el sentido de que un espacio vectorial V es (no naturalmente) isomorfo a su espacio dual V * de tensores. Relaciones similares entre [matemática] V ^ n [/ matemática] y [matemática] V ^ {* n} [/ matemática] (producto exterior, para n-tensores). Bajo este isomorfismo entre V, V *, a cada vector se le asigna un tensor, es decir, un mapa lineal l que puede ser representado por una matriz; un mapa lineal definido en un solo vector es una matriz [matemática] 1 \ por 1 [/ matemática]. Con respecto al otro sentido de “vector”, sí, un vector es un objeto físico que necesita tanto la magnitud como la dirección para ser completamente descrito. Los tensores pueden necesitar muchas “dimensiones” para ser completamente descritos. Creo que el tensor de estrés tridimensional requiere que se describan con precisión unas 10 entradas.

Answer 6

La dirección y la magnitud son muy informales y no lo captan del todo. Las matrices son un espacio vectorial, por lo que tienes un caso especial de vectores allí.

En general, cualquier elemento de un espacio vectorial arbitrario se llama vector.