Si [math] p, q \ geq 2 [/ math] es cierto que existe a lo sumo un homomorfismo de anillo [math] f: \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Z} / q \ mathbb {Z} [/ math]?

Answer 1

Sí, hay a lo sumo un homomorfismo de anillo aquí.

Supongamos que hay más de un homomorfismo, digamos [math] f [/ math] y [math] g, [/ math] tal que [math] f [/ math] no es idénticamente igual a [math] g [/ math] [ matemáticas]. [/ matemáticas]

Debido a las propiedades de los homomorfismos,

[matemáticas] f (1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] g (1) = 1. [/ matemáticas]

Mire la función [math] fg [/ math].

[matemáticas] (fg) (1) = 0 [/ matemáticas]

Para cualquier [matemática] n [/ matemática] menor que [matemática] p [/ matemática],

[matemáticas] (fg) (n) = (fg) (1 + 1 +… 1) = n. (fg) (1) = n.0 = 0 [/ matemáticas]

Llegamos a una contradicción. Eso significa que nuestra suposición de que [matemática] f [/ matemática] no es idénticamente igual a [matemática] g [/ matemática] era incorrecta, y tenemos como máximo un homomorfismo de anillo entre los espacios dados.

Answer 2

Sí, es completamente cierto.

Deje que [math] \ phi [/ math] y [math] \ varphi [/ math] sean dos homomorfismos de [math] \ Z / p \ Z [/ math] a [math] \ Z / q \ Z [/ math ]

Luego, tenga en cuenta que:

[matemáticas] \ phi (1) = 1 = \ varphi (1) [/ matemáticas]

Ahora, [math] \ forall a \ in \ Z / p \ Z [/ math] [math]: [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {\ phi (a)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {= \ sum_ {j = 1} ^ {a} \ phi (1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {= \ sum_ {j = 1} ^ {a} \ varphi (1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {= \ varphi (a)} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta las propiedades de los anillos específicos que hemos utilizado en la prueba. ¿Supones que este teorema generaliza a todos los pares de anillos? ¿Por qué o por qué no?

¡Pasa un buen rato pensando!

Answer 3

[math] \ newcommand {\ ker} {\ operatorname {ker}} [/ math] Depende, si permite [math] f (1) = 0 [/ math] o requiere la [math] f (1) habitual = 1 [/ matemáticas].

Sea [math] p

Si [matemática] p> q [/ matemática] entonces [matemática] f (\ underbrace {1 + 1 + \ cdots +1} _ {\ text {q veces}}) = f (q) = 0 [/ matemática] , lo cual es una contradicción con la condición previa [matemática] f (1) = 1 [/ matemática] como [matemática] f (n) = 0 [/ matemática] con [matemática] n [/ matemática] el resto de [matemática] p [/ math] dividido por [math] q [/ math]. Entonces, una vez más, el único homomorfismo es el nulo-homomorfismo.

Si [matemática] p = q [/ matemática] y [matemática] f (1) = 1 [/ matemática] el único homomorfismo es la identidad con el núcleo [matemática] \ ker (f) = \ {0 \} [/ matemática ] Si permite f (1) = 0, entonces el nulo-homorfismo también es posible.