¿En qué orden debo aprender los siguientes temas: Álgebra abstracta, Álgebra lineal avanzada, Análisis real y Topología?

Answer 1

Puede tomarlos en el orden que desee, pero sospecho que el orden óptimo sería un análisis real seguido de álgebra seguido de topología seguida de álgebra lineal avanzada.

Comienzas con un análisis real, porque es, en promedio, algo más fácil que el álgebra, siempre y cuando puedas mantenerte motivado. Conoces el 90% de los hechos en el curso de cálculo elemental. Ahora, estás aprendiendo cómo probarlos rigurosamente. El análisis a nivel de Abbott es una especie de introducción al curso de prueba.

Sigue esto con álgebra. Todo estudiante de matemáticas necesita saber álgebra abstracta, punto. Cualquier programa que no lo requiera está perjudicando a sus estudiantes. (Descargo de responsabilidad: mi escuela, sorprendentemente, permite a los estudiantes tomar álgebra lineal aplicada o álgebra lineal en el nivel de Axler, ninguno de los cuales creo que son sustitutos de un curso de álgebra adecuado). La mayoría de los cursos de álgebra en este nivel son cursos de idiomas. Aprenderá los conceptos básicos de grupos, anillos, módulos, campos y espacios vectoriales (sobre campos arbitrarios), que aparecen todo el tiempo en matemáticas. También aprende los resultados más comunes y estándar del álgebra, como el primer teorema del isomorfismo. Quizás tan importante como aprender el lenguaje del álgebra, también se te presenta la abstracción correctamente en este curso. El análisis elemental es muy teórico y riguroso, como lo es el álgebra, pero no es particularmente abstracto . La abstracción es importante para todos los matemáticos, ya sea que trabajen en PDE o geometría algebraica.

Después del álgebra, tome la topología. La topología es probablemente el más difícil de los primeros tres cursos. Es algo difícil motivar el material, parte del cual es increíblemente importante para todos los matemáticos y todo lo que es importante para los analistas y similares (así como el desarrollo histórico de las matemáticas). Además, el material es aún más novedoso que el álgebra, donde al menos usted tenía su experiencia con los espacios vectoriales para recurrir. (Resulta que cambiar a otras categorías, como [math] \ mathbf {Grp} [/ math] o [math] \ mathbf {Ring} [/ math], arroja resultados y pruebas similares a [math] \ mathbf {Vec_k } [/ math].) Es cierto que ves mucha topología en el análisis en algún sentido, pero está oculto, porque generalmente no necesitas tanto poder o generalidad. Quizás lo más difícil es que las pruebas topológicas pueden parecer poco inspiradas, involucrando elecciones arbitrarias que forman largas cadenas de implicaciones lógicamente sólidas pero desmotivadas, lo que se debe en parte a la naturaleza del tema y su relación con el estudiante, y en parte debido a deficiencias en la enseñanza.

Te sugiero que estudies álgebra lineal avanzada en el último nivel romano. La razón es simple: las otras tres asignaturas son material básico de pregrado, que se espera de todos los graduados (la topología al nivel de un curso completo es algo menor en estos días), mientras que este curso no se asume. Es posible que necesite álgebra lineal avanzada en algún momento. De hecho, existe un mantra entre los matemáticos de todos los ámbitos: nunca se puede saber suficiente álgebra lineal . Sin embargo, el álgebra lineal en el nivel de Axler suele ser suficiente para estudiar otras matemáticas de nivel de pregrado o comenzar las matemáticas de nivel de posgrado. Uno puede necesitar álgebra lineal a nivel romano, pero no todos lo necesitan, y relativamente pocos toman un curso de ese tipo. En cambio, aprenden álgebra lineal en pregrado y un poco más en un curso de examen de calificación en álgebra, y luego retoman el resto. Esto no es cierto para todos (por ejemplo, he leído el libro de Roman), pero eso no viene al caso. En resumen, creo que primero deberías aprender lo básico. Si el álgebra lineal y los temas relacionados son algo que realmente te encanta, entonces siéntete libre de abordar el curso después de tomar álgebra, pero no lo sugeriría antes, y te recomiendo encarecidamente que primero trabajes en algo en el nivel de Axler o Hoffman y Kunze . Incluso podría ser bueno posponer a Roman hasta después de que termine el material básico de posgrado, pero eso ciertamente depende de usted, y depende en gran medida de su tiempo e intereses. El álgebra lineal avanzada es más sofisticado que los otros tres cursos discutidos aquí, pero puede resultar menos difícil conceptualmente debido a la experiencia pasada. Sin embargo, los problemas que uno encuentra en los cursos de posgrado no son caminar en el parque, y son de lo que realmente aprende. Al resolver estos problemas, no solo aprende a hacer matemáticas, sino que también obtiene una apreciación y una comprensión más profundas del objeto de estudio.

Answer 2

Estudiaría álgebra abstracta antes del análisis real. El análisis real básicamente está demostrando que el cálculo funciona, y comprende dónde se descompone. Es un curso muy orientado a los detalles y a las pruebas. El álgebra abstracta no tiene casi nada que ver con el análisis real, pero también es un curso muy detallado y orientado a pruebas. Estudia estructuras algebraicas generales de grupos, anillos, campos, etc. y lo hace de una manera muy abstracta. Tomar un curso de álgebra abstracta es una buena manera de entrar en la mentalidad de “cómo hago una prueba” que usará en el análisis real.

Tomaría Real Analysis antes de Topology. Tanto el análisis real como la topología se preocupan por los problemas de continuidad, y de esa manera la topología toma lo que el análisis real describe sobre la continuidad en los reales y lo generaliza mucho más allá de los reales.

Miré por encima de Munkres para ver si había algún material allí que se beneficiaría de conocer álgebra lineal avanzada, y no veo mucho de improviso. Sin embargo, se refiere a conceptos de álgebra abstracta, por lo que es una razón para tomar álgebra abstracta antes de la topología (lo que haría, siguiendo las notas anteriores).

No veo una buena razón para preocuparme sobre dónde está el álgebra lineal avanzada en ese orden. Personalmente, probablemente solo haría los temas en el orden indicado: álgebra abstracta, álgebra lineal avanzada, análisis real y topología, pero la ubicación si el álgebra lineal no está fuertemente restringida.

Answer 3

Lo digo desde mi experiencia, por lo que el orden que voy a sugerir puede no ser para todos.

Inicialmente comience con la teoría básica de conjuntos y el análisis introductorio real.

Ahora, puede dividir estos 4 temas en dos partes, una de álgebra y otra de topología y análisis. Puedes estudiar cada parte de forma independiente en cualquier orden, según yo, en realidad no importa qué parte elijas primero.

Para la parte de álgebra, primero estudie la teoría de grupos, luego estudie álgebra lineal y luego vuelva a la teoría de los anillos, la teoría de campo, el álgebra conmutativa y otras partes del álgebra abstracta.

Para la parte de topología y análisis, primero puede estudiar espacios métricos, luego algunos análisis de moderados a avanzados y luego topología. Puede estudiar la topología antes de estudiar un análisis serio, pero personalmente no me gusta hacerlo.

Answer 4

Recomiendo encarecidamente que la topología DEBE venir después de un análisis real.

Desarrollará un instinto para muchas de las definiciones en topología a través de caracterizaciones de propiedades desarrolladas en análisis reales.

Específicamente, comenzará a comprender las propiedades de los conjuntos abiertos y cómo caracterizar la continuidad en términos de conjuntos abiertos. Si primero hace topología, parecerá que las suposiciones y definiciones provienen de la nada.

Answer 5

Topología última. Es el único que realmente no te ayuda con ninguno de los otros, al menos no directamente.

Pero si puede pagar los cuatro textos, consígalos todos y úselos todos en paralelo. Priorice el análisis real, porque realmente querrá hacer análisis complejos con el tiempo, y no ignore el álgebra abstracta, porque querrá conocer la teoría de Galois incluso más que el análisis complejo en algún momento.

Answer 6

En lo que a mí respecta, comenzando con Análisis real y topología, luego Álgebra lineal avanzada y finalmente Álgebra abstracta. Eso si El álgebra abstracta está avanzada porque para comprender los conceptos de álgebra abstracta es posible que necesite algunas ideas sobre álgebra lineal y topología. Para un análisis real si es avanzado, preferiría comenzar con la topología porque la va a necesitar para comprender mejor las próximas lecciones.

Answer 7

Álgebra lineal avanzada, luego Álgebra abstracta, luego Topología. Análisis real en cualquier momento del camino.

Abbott es más suave que Rudin y Munkres es una buena introducción lenta a la topología general.

Recomendaría Guillemin y Pollack para la topología diferencial, y Hatcher para la topología algebraica (aunque realmente no conozco ningún buen libro para la topología algebraica; el libro de May es prácticamente irascible, Hatcher no da buena intuición para el hermoso tema en sus pruebas) y Munkres también tiene un libro sobre topología algebraica, que, aunque tiene sus puntos brillantes, parece fallar).

¡Buena suerte!

Answer 8

Estoy de acuerdo con los consejos dados por todos a continuación, pero hay una cosa que agregaría. Estudie el cálculo multivariable antes del análisis real porque el análisis real generalmente cubre los resultados de cálculo de variable única y multivariable.