Los espacios vectoriales de dimensiones finitas admiten descomposiciones cíclicas, que son descomposiciones de suma directa en subespacios invariantes en relación con operadores lineales que actúan sobre ellas.
Si entiendo su pregunta correctamente, me gustaría mostrar aquí cómo las descomposiciones cíclicas de espacios vectoriales de dimensiones finitas son útiles, por ejemplo, para encontrar expresiones (útiles) para los polinomios característicos de operadores lineales que actúan sobre ellas.
Suponga que [math] T: V \ to V [/ math] es un operador lineal que actúa en un espacio vectorial de dimensión finita [math] V [/ math] sobre un campo [math] \ mathbb {F} [/ math] .
Además, suponga que el polinomio mínimo de [matemática] T [/ matemática] viene dado por [matemática] p (x) = \ prod \ limits_ {q (x) \ en S} \ left (q (x) \ right) ^ {m_q} [/ matemáticas]
- Si [math] p, q \ geq 2 [/ math] es cierto que existe a lo sumo un homomorfismo de anillo [math] f: \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Z} / q \ mathbb {Z} [/ math]?
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- Cómo mostrar esta adición de subespacio
(donde [math] S [/ math] denota un conjunto de polinomios irreducibles en [math] \ mathbb {F} [x] [/ math] y [math] m_q [/ math] denota la multiplicidad de [math] q ( x) [/ math] como factor de [math] p (x) [/ math] para todos [math] q (x) \ en S [/ math]).
Entonces [math] V [/ math] admite la descomposición de suma directa [math] V = \ bigoplus \ limits_ {q (x) \ in S} \ operatorname {ker} \ left (q (T) \ right) ^ {m_q } = \ bigoplus \ limits_ {q (x) \ in S} \ operatorname {ker} \ left (q (T) \ right) ^ {\ operatorname {dim} (V)} [/ math].
Además, para cada [matemática] q (x) \ en S [/ matemática], [matemática] \ operatorname {ker} \ left (q (T) \ right) ^ {\ operatorname {dim} (V)} [/ math] admite una descomposición de suma directa [math] \ operatorname {ker} \ left (q (T) \ right) ^ {\ operatorname {dim} (V)} = \ bigoplus_ \ limits {v \ en U_q} Z (T ; v) [/ math] en [math] T [/ math] -ciclic subspaces para algún conjunto de vectores [math] U_q \ subseteq V [/ math].
Ahora, deje que [math] U = \ bigcup \ limits_ {q (x) \ in S} U_q. [/ Math]
[matemática] \ implica V = \ bigoplus \ limits_ {v \ en U} Z (T; v) [/ matemática]
[matemáticas] \ implica B: = \ bigcup \ limits_ {v \ en U} \ {v, Tv, \ cdots, T ^ {\ left (\ operatorname {dim} (Z (T; v)) – 1 \ right )} v \} [/ matemáticas]
es una base para [matemáticas] V [/ matemáticas].
[matemáticas] \ implica A: = [T] _B = \ bigoplus \ limits_ {v \ en U} C_v [/ matemáticas]
es una matriz de bloques en diagonal, dada aquí por una suma de Kronecker de matrices compañeras, que permite que [math] C_v: = \ left [T \ mid_ {Z (T; v)} \ right] _B [/ math] para todas [math ] v \ en U [/ matemáticas].
[math] \ implica \ phi (x): = \ operatorname {det} (xI – A) [/ math]
[math] = \ prod \ limits_ {v \ in U} \ operatorname {det} (xI – C_v) [/ math]
[math] = \ prod \ limits_ {v \ in U} p_v (x) [/ math]
[math] = \ prod \ limits_ {q (x) \ in S} \ left (q (x) \ right) ^ {\ operatorname {dim} \ left (\ operatorname {ker} \ left (q (T) \ derecha) ^ {\ operatorname {dim} (V)} \ right)} [/ math]
es una expresión (útil) para el polinomio característico de [math] T [/ math], dejando que [math] p_v (x) [/ math] denote el polinomio mínimo relativo de [math] v [/ math] para todos [math] ] v \ en U [/ matemáticas].
Espero que mi respuesta sea útil aquí.