¿El producto de dos matrices unitarias es siempre unitario?

Answer 1

Sí, el producto de dos matrices unitarias es siempre unitario.

Para recapitular, si la matriz [matemática] U [/ matemática] es unitaria si [matemática] UU ^ * = I [/ matemática] donde [matemática] U ^ * [/ matemática] denota la transposición del conjugado (transponer la matriz y el conjugado complejo cada valor)

Ahora si [math] U_1 [/ math] y [math] U_2 [/ math] son ​​unitarias, tenemos que:

[matemáticas] (U_1U_2) (U_1U_2) ^ * = (U_1U_2) (U_2 ^ * U_1 ^ *) [/ matemáticas] (propiedad de la transposición del conjugado)

[matemáticas] = U_1 (U_2U_2 ^ *) U_1 ^ * = U_1IU_1 ^ * [/ matemáticas] (ya que [matemáticas] U_2 [/ matemáticas] es unitario)

[matemáticas] = U_1U_1 ^ * = I [/ matemáticas] (ya que [matemáticas] U_1 [/ matemáticas] es unitario).

Por lo tanto, concluimos que el producto de dos matrices unitarias es de hecho unitario.

Answer 2

Si [math] U, V \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n} [/ math] son ​​matrices unitarias, entonces [math] VV ^ * = I_n [/ math] y [math] UU ^ * = I_n. [/ Math] Por lo tanto

[matemática] (UV) (UV) ^ * = U (VV ^ *) U ^ * = UI_nU ^ * = UU ^ * = I_n. [/ math]

Utilizamos el hecho de que [math] (AB) ^ * = B ^ * A ^ * [/ math] para cualquier [math] A, B \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n} [/ math] y la asociatividad de la multiplicación de matrices. Es decir, [matemáticas] UV [/ matemáticas] es de hecho unitario.

Si las matrices unitarias [matemáticas] U, V [/ matemáticas] son ​​reales, es decir, ortogonales, el hecho de que [matemáticas] UV [/ matemáticas] también es ortogonal queda claro por la observación de que la composición de dos rotaciones (con posibles reflejos ) es de nuevo una rotación (con una posible reflexión).

Answer 3

Sí, incluso podemos hacerlo en un entorno aún más general.

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Un operador unitario conserva los productos internos (y, por lo tanto, también las normas).

[matemáticas] L: X \ rightarrow Y [/ matemáticas] unitario

[matemática] X, Y [/ matemática] espacios internos del producto

[matemáticas] \ langle x, y \ rangle_X = \ langle Lx, Ly \ rangle_Y = \ langle x, L ^ {*} L y \ rangle_Y [/ math]

Si [math] X, Y [/ math] son ​​el mismo espacio, entonces está claro que [math] L ^ {*} L = I, \ Rightarrow L ^ {*} = L ^ {- 1} [/ math]

Si compongo dos operadores unitarios, el producto interno aún se conserva, ya que cada paso lo conserva, por lo que la composición de los operadores unitarios es unitaria.

[matemáticas] L: X \ rightarrow Y [/ matemáticas] unitario

[matemáticas] M: Y \ rightarrow Z [/ matemáticas] unitario

[matemáticas] \ langle x, y \ rangle_X = \ langle Lx, Ly \ rangle_Y = \ langle MLx, MLy \ rangle_Z [/ math]

Una matriz unitaria (o la multiplicación por uno) es un operador unitario.

Answer 4

Una matriz unitaria es una matriz cuadrada, U, donde UU * = I. (* denota la transposición conjugada o el operador hermitiano). Para demostrar que el producto de dos matrices unitarias, A y B, es unitario, debe demostrar que AB (AB) * = I.

Esto se sigue fácilmente porque (AB) * = B * A * y desde A * A = B * B = I.

Así que, en conjunto, la prueba se ve así:

Suponga que A y B son matrices unitarias,

AB (AB) * = AB (B * A *) = A (BB *) A * = AIA * = AA * = I

así AB (AB) * = I, que es la definición de una matriz unitaria

AB es unitario.