El determinante se define como un estadístico teórico de permutación en un tensor de campo que asigna un tensor de rango n a un tensor de rango 0 mediante la simple suma y multiplicación sobre ese campo.
Por lo tanto, calcular los determinantes de rango 3 y superiores está trivialmente bien definido, aunque cada vez es más intensivo en cómputo a medida que el orden de un grupo de permutación crece con el orden factorial.
Por lo tanto, este es un buen ejemplo en matemáticas donde un objeto se define de una manera (para mayor claridad de exposición), pero se calcula de otra manera para la eficiencia.
Volviendo al meollo de la pregunta, ¿cómo podemos generalizar la idea?
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a) En lugar de usar un grupo de permutación, trabaje sobre la configuración teórica de grupo más general. ¿Torsión / determinantes sin torsión a alguien?
b) En lugar de mapear a un tensor de rango 0 (el escalar de campo), mapear a rango 2 o 3, o incluso tal vez n-1.
La idea (a) es muy abstracta y probablemente no sea de mucha utilidad para los humanos en el siglo XXI, aunque es ideal para las fábricas de doctorado y aquellos que buscan extender el campo de Higgs en la noble búsqueda de un premio Nobel. Lamentablemente, Sir Andrew Wiles ahora es demasiado viejo para ganar una medalla Fields para una generalización de campo de un determinante.
La idea (b), sin embargo, es más fructífera.
Cuando pensamos en un determinante (clásico) como un mapeo de rango n a rango 0, nos damos cuenta de que un determinante realmente es una estadística del tensor subyacente y expresa ese tensor de una manera agradable (aunque no única). Para una matriz de 2 × 2 expresa el multiplicador de área, para una matriz de 3 × 3 expresa cómo se multiplica el volumen (considerando esa matriz como un operador lineal). Ahora las matrices (de cualquier tamaño) son solo tensores de rango 2. A medida que aumenta su tamaño (no rango), obtenemos una generalización natural de la longitud, el área, el volumen, etc., que es un buen punto de partida para la teoría de la integración (y, por lo tanto, la medida).
Dado que el determinante no es único, podemos pensar en las clases de equivalencia admitidas para un tamaño de matriz dado. Hay mucho que hacer aquí.
Pero, ¿qué pasa si consideramos no un mapeo rango-n a rango-0 sino rango-k (donde 0 <= k <= n)?
Cuando k = 0 tenemos un determinante clásico “clásico” que nos lleva a la secuencia de generalización de longitud, área, volumen, …)
Cuando k = n tenemos Identidad (cada tensor se asigna idempotentemente a sí mismo)
Cuando 0 <k <n parece que estamos generalizando la secuencia de generalización … hmmm
Creo que me detendré por aquí.