¿Por qué el hermitiano es la forma natural de generalizar el concepto de transposición para matrices complejas?

En mecánica cuántica, un operador [math] \ hat {A} [/ math] actúa sobre un ket [math] | P> [/ math] para dar otro ket [math] | Q> [/ math] en el mismo vector espacio. Es decir, [matemáticas] | Q> = \ hat {A} | P> [/ matemáticas]. El dual de [math] | P> [/ math] es el sostén [math]

[/ math] es <[math] Q | = < P | \ hat {A} ^ {\ dagger} [/ math]. [math] \ hat {A} ^ {\ dagger} [/ math] se llama adjunto de [math] \ hat {A} [/ math]. Ahora se puede ver que [matemáticas]

= ^ {*} [/ math]. Un operador está representado por una matriz de manera conveniente y un elemento de matriz de [math] A_ {ij} [/ math] de [math] \ hat {A} [/ math] tiene la forma [math] [/ math]. Debido a la propiedad entre [math] \ hat {A} [/ math] y [math] \ hat {A} ^ {\ dagger} [/ math] indicado anteriormente, tenemos [math] = ^ {*} o A ^ {\ dagger} _ {ij} = A_ {ji} ^ {*} [/ math]. Entonces, la matriz que representa [math] \ hat {A} ^ {\ dagger} [/ math] es la transposición conjugada de la matriz que representa [math] \ hat {A} [/ math].

Puedes usar la transposición o la daga, todo depende de lo que quieras. Básicamente se usa cuando quieres distinguir entre números reales e imaginarios, o para encontrar valores absolutos.

Por ejemplo, en mecánica cuántica desea operadores (básicamente matrices) con valores propios reales. Para cualquier matriz A, la matriz [matemática] B = A ^ {\ dagger} + A [/ matemática] solo tiene valores propios reales, por lo que todos los operadores son hermitianos.

Parte de la respuesta es primero explicar por qué usamos el producto interno que toma un conjugado complejo, por ejemplo, <[matemáticas] (a, b), (c, d)> = \ bar {a} c + \ bar { b} d [/ matemáticas]. (No vi de antemano cómo obtener una barra sobre una variable, pero alguien ofreció una edición con ayuda de la barra invertida, gracias.) No estoy seguro de que haya una manera fácil de demostrar que esta es una función más importante. estudiar que lo mismo sin conjugados complejos, pero al menos parte de la razón por la que es, es que este producto interno siempre te da un número real [matemática]> = 0 [/ matemática] cuando lo aplicas al mismo vector dos veces. Eso convierte a [math] \ sqrt {} [/ math] en una métrica y así sucesivamente. He visto una referencia a la alternativa sin los conjugados complejos, pero ninguno de los conceptos asociados parece usarse con tanta frecuencia.

Entonces, al igual que en una de las otras respuestas, lo que realmente estamos haciendo es calcular el adjunto de la transformación original, de modo que [math] = [/ math]. La entrada [math] A_ {ij} [/ math] de la matriz original es [math] [/ math] mientras que la entrada correspondiente para el adjunto es [math] [/ math] que difiere de [math] A_ {ji} [/ math] en que, además de intercambiar los subíndices (que da “solo” la transposición) hemos invertido el orden de los vectores en el producto interno, que es donde se conjuga el complejo entra en ella

Es similar a la diferencia entre “linealidad real” y “linealidad compleja”. Un operador A es “lineal real” si para cualquier número real c, tiene A (c * x) = c * A (x). Un operador es lineal complejo si para cualquier número complejo z tiene A (z * x) = z * A (z). Un ejemplo de una función que es real-lineal pero no compleja-lineal es la conjugación compleja. Cuando se trata de espacios vectoriales complejos, habitualmente queremos mapas lineales complejos, lo que nos restringe a matrices complejas (en lugar de ser capaces de “conjugar complejos” también nuestros vectores). Por lo tanto, las operaciones complejas son diferentes a las operaciones reales.

Ahora, comencemos con los vectores. Digamos que queremos que [math] v \ cdot w [/ math] sea igual a [math] v ^ \ dagger w [/ math] para cualquier [math] v [/ math], [math] w [/ math ]; definiremos la daga por medio de esto. Ahora, queremos que [math] v \ cdot v [/ math] sea un número real no negativo. Para los vectores reales, esto implica que simplemente podemos multiplicar por componentes; para números complejos, sin embargo, tenemos que conjugar complejos para mantener esta definición positiva. Por lo tanto, [math] v ^ \ dagger [/ math] tiene que ser conjugado y transpuesto (aunque la operación de conjugación compleja es ignorable para los vectores reales). Esto explica por qué la operación es válida para vectores, y las matrices esencialmente mantienen la estructura (no tratamos con transposiciones de vectores complejos, por lo que tampoco tratamos con transposiciones de matrices complejas).

Respuesta más corta: la daga es en realidad una operación más general llamada “tomar el operador adjunto”. Para números complejos, este es el conjugado de transposición; para matrices reales, nosotros (casualmente) podemos ignorar la conjugación.