Cómo calcular el potencial vectorial

[math] \ nabla. \ vec {b} = 0 [/ math], lo que significa que [math] \ vec {b} [/ math] es solenoidal, lo que implica que [math] \ vec {b} = \ nabla \ veces \ vec {a} [/ math], donde [math] \ vec {a} [/ math] se determinará estableciendo [math] a_ {x} = 0 [/ math]. Dado que, [matemáticas] \ vec {b} = \ nabla \ times \ vec {a} [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {\ partial a_ {z}} {\ partial y} – \ frac {\ partial a_ {y}} {\ partial z} = b_ {x} = 2x ^ {3} yz ^ {4} -3x ^ {4} z ^ {2} [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {\ parcial a_ {x}} {\ partial z} – \ frac {\ partial a_ {z}} {\ partial x} = – \ frac {\ partial a_ {z}} {\ partial x} = – 3x ^ {2} y ^ {2} z ^ {4} [/ math], [math] \ frac {\ partial a_ {y}} {\ partial x} – \ frac {\ partial a_ {x}} {\ partial y} = \ frac {\ partial a_ {y}} {\ partial x} = 4z ^ {3} x ^ {3} [/ math]. Por lo tanto, obtenemos [matemáticas] a_ {z} = x ^ {3} y ^ {2} z ^ {4} + f (y, z) [/ matemáticas] y [matemáticas] a_ {y} = x ^ {4} z ^ {3} + g (y, z) [/ matemáticas]. Luego sustituimos estos valores de [math] a_ {y} [/ math] y [math] a_ {z} [/ math] en [math] \ frac {\ partial a_ {z}} {\ partial y} – \ frac {\ partial a_ {y}} {\ partial z} = b_ {x} = 2x ^ {3} yz ^ {4} -3x ^ {4} z ^ {2} [/ math] para obtener [math] \ frac {\ partial f} {\ partial y} – \ frac {\ partial g} {\ partial z} = 0 [/ math]. Elegir [matemática] f = 0 [/ matemática], [matemática] – \ frac {\ partial g} {\ partial z} = 0 \ implica g = h (y) [/ matemática]. Entonces, los componentes de [math] \ vec {a} [/ math] son ​​[math] a_ {x} = 0 [/ math], [math] a_ {y} = x ^ {4} z ^ {3} + h (y) [/ matemáticas], [matemáticas] a_ {z} = x ^ {3} y ^ {2} z ^ {4} [/ matemáticas]. Si elegimos [math] g = 0 [/ math], [math] \ frac {\ partial f} {\ partial y} = 0 \ implica f = p (z) [/ math], en cuyo caso, [math ] a_ {x} = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] a_ {y} = x ^ {4} z ^ {3} [/ matemáticas], [matemáticas] a_ {z} = x ^ {3} y ^ {2} z ^ {4} + p (z) [/ matemáticas]. La función [matemáticas] h (y) [/ matemáticas] o [matemáticas] p (z) [/ matemáticas] son ​​puramente arbitrarias.

¡Hola! Adjunto está mi trabajo. Una herramienta útil es Wolfram Alpha para verificar que está calculando sus derivadas parciales correctamente.

No estaba seguro de lo que querías decir que establece un sub 1 = 0; si esto significa que su último paso debe ser la integral 0dx = C = g (x), entonces obviamente tendrá que seguir un conjunto diferente de pasos para asegurarse de que el último parcial que encuentre sea con respecto a x, no z. Espero que las notas sean útiles independientemente.