¿Por qué un espacio vectorial (V, +,.) No es un anillo?

Answer 1

Todas estas respuestas son correctas, pero quiero presentar algo que pueda iluminar por qué los anillos y los espacios vectoriales se sienten tan similares: un espacio vectorial es un grupo abeliano interno de la categoría [matemáticas] \ operatorname {CRing} _ {/ k} [ / math] para [math] k [/ math] el campo base, con estructura monoidal heredada de [math] \ operatorname {CRing} [/ math]. Un anillo es un monoide (anteriormente había dicho “grupo abeliano” en lugar de “monoide”, vea la edición) interno a la categoría [math] \ operatorname {Ab} [/ math] con estructura monoidal dada por el producto tensorial de abelian grupos En cierto sentido, esto se captura por analogía: los anillos son para grupos abelianos como los espacios vectoriales son para homomorfismos de anillo conmutativos en un campo .

Editar. ¡Gracias a Daniel por corregirme!

Answer 2

Porque una multiplicación en un anillo tiene que ser

[math] \ times: (v_1, v_2) \ mapsto {v_1v_2} [/ math] donde [math] v_1, v_2 [/ math] son ​​elementos del anillo.

Sin embargo, en un espacio vectorial, la multiplicación solo se define entre un escalar y un vector. Para que sea un anillo, la multiplicación tendría que definirse para dos vectores, que no lo es.

Answer 3

Para que un espacio vectorial sea un anillo (o un campo), necesita una operación de multiplicación que tome dos vectores y produzca otro vector. Ni los productos escalares ni los productos de puntos tienen esa propiedad, excepto en espacios unidimensionales.

Pero, la multiplicación de vectores componente por componente (en relación con una determinada base) hace que el espacio sea un anillo. Esta es la operación que Python NumPy proporciona para la multiplicación de vectores “*”, por ejemplo. En más de una dimensión, dicho anillo no es un campo, porque los vectores con algunos pero no todos los componentes iguales a cero no tienen inversa multiplicativa, a pesar de que no son vectores cero. Este tipo de anillo es solo un caso especial de los anillos de funciones más generales con multiplicación puntual.

Answer 4

Un anillo en primer lugar es una estructura algebraica, compuesta de un conjunto y dos operadores binarios sobre ese conjunto que satisfacen los axiomas del anillo.

La multiplicación por escalar no es un operador binario sobre el conjunto de espacios vectoriales. La discusión ni siquiera llega al punto en el que debatiríamos los elementos unitarios de los operadores.

Answer 5

Un anillo un conjunto [math] \ bf {R} [/ math], junto con dos funciones [math] +: \ bf {R} \ times \ bf {R} \ to \ bf {R}, \ cdot: \ bf {R} \ times \ bf {R} \ to \ bf {R} [/ math] que satisfacen ciertas condiciones que no voy a enumerar aquí.

Un espacio vectorial es un conjunto [matemático] \ bf {V} [/ matemático], un campo [matemático] (\ bf {F}, +, \ cdot) [/ matemático] y dos funciones [matemático] +: \ bf {V} \ times \ bf {V} \ to \ bf {V}, \ cdot: \ bf {F} \ times \ bf {V} \ to \ bf {V} [/ math] que satisfacen ciertas condiciones I No voy a enumerar aquí.

La multiplicación escalar en un espacio vectorial tiene la “firma” incorrecta para ser la operación multiplicativa en un anillo. Toma como argumentos elementos de dos conjuntos diferentes, no dos elementos del mismo conjunto.

Supuse que si [math] \ bf {V} = \ bf {F} [/ math], el espacio vectorial unidimensional resultante sería un anillo, pero en general no es así como la gente piensa en los espacios vectoriales.

Answer 6

Porque los escalares y los vectores no son lo mismo. Un anillo de vectores debe agregar dos vectores para obtener un vector y multiplicar dos vectores para obtener un vector. Puede verificar si un espacio vectorial con un producto cruzado satisface los otros requisitos, por ejemplo.

Answer 7

Porque para que [math] V [/ math] sea un anillo, necesita un segundo operador binario (“multiplicación”) que, entre otras cosas, sea un mapa

[math] \ varphi: V \ times V \ longrightarrow V [/ math]

Eso estaba bien definido.

Tu concepto de multiplicación envía

[math] \ psi: \ mathbb {K} \ times V \ longrightarrow V [/ math]

donde [math] \ mathbb {K} [/ math] es un campo.

Esa es la diferencia esencial entre los espacios vectoriales y los anillos: la “multiplicación” en los anillos es entre dos elementos del anillo, mientras que en los espacios vectoriales la “multiplicación” es entre un elemento del espacio vectorial y un elemento de un campo externo. Es por eso que se refiere a un espacio vectorial como sobre algún campo .

Answer 8

Para un anillo, ambas operaciones (+,.) Deben ser relaciones binarias, es decir, deben tomar como entradas dos elementos del conjunto y generar un tercer elemento del conjunto.

La multiplicación escalar no toma dos elementos del espacio vectorial como entrada, por lo que no puede ser la relación de multiplicación de un anillo.

Answer 9

La multiplicación por un escalador no forma un monoide ya que la operación necesita actuar sobre dos elementos del conjunto. Eres multiplicado un elemento del conjunto por un elemento de otro conjunto.

Answer 10

Si. Un escalar es diferente de un vector, y un anillo requeriría que dos vectores multiplicados entre sí formen otro vector de la misma dimensión.