¿Cómo escribimos operadores de forma exponencial en forma matricial?

Answer 1

Que yo sepa, hay dos métodos principales. Todo lo que necesitamos saber es la definición de lo exponencial, que es una serie de potencias. Espero que sepa cómo deducir el cuadrado de una matriz, el cubo de una matriz, etc.

1. Teorema de Cayley-Hamilton : Utilizando esto, escribimos las potencias más altas de la serie en función de las potencias más bajas (generalmente los términos lineal y cuadrado). Luego, agrupamos los términos en dos o tres partes (según lo permita el polinomio característico). Si los coeficientes se pueden escribir en términos de funciones elementales, entonces buen trabajo. De lo contrario, déjelo así y descuide los términos apropiados para fines computacionales.
2. Método de ecuación diferencial ordinaria : esto es bastante largo, así que tengan paciencia conmigo. Si la matriz de interés es A, considere una ecuación diferencial de vector x ‘= Ax, donde x es un vector de variables. La matriz fundamental (google esto si no lo sabe, pero no es necesario) de la ecuación es e ^ At, donde t es la variable independiente de la ecuación. Para encontrar esto, encuentre los valores propios de la matriz A, los vectores propios correspondientes. Si m es un valor propio, la solución correspondiente es e ^ mt (p), donde p es el vector propio correspondiente. Obtendrá 3 soluciones, si A es una matriz 3 * 3, y los valores propios son reales y distintos. Luego, las tres soluciones deben escribirse como vectores de columna de una matriz. Asegúrese de que en t = 0, esta matriz es la matriz de identidad, de lo contrario multiplíquela por el inverso obtenido en t = 0. La matriz final es e ^ At. Para obtener e ^ A, simplemente pon t = 1.

Answer 2

Su pregunta (escribir el exponencial de una matriz) y lo que realmente está tratando de hacer (pasar de la ecuación 3.2.44 a la e1 3.2.45) son en realidad dos cosas diferentes, por lo que hablaré solo brevemente sobre la exponencial.

El exponencial de una matriz se define como:

[matemáticas] \ exp \ mathbf {A} \ equiv \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {\ mathbf {A} ^ n} {n!}. [/matemáticas]

Aceptando que esta es una cantidad útil (es), ¿cómo la calculamos? La respuesta de Arvind Ganesh da algunos ejemplos útiles, pero otra forma fácil es simplemente diagonalizar su matriz. Si la matriz A tiene alguna factorización

[matemática] \ mathbf {A} = \ mathbf {P} \ mathbf {D} \ mathbf {P} ^ {- 1} [/ math]

es fácil demostrar que

[math] \ exp \ mathbf {A} = P \ exp (\ mathbf {D}) P ^ {- 1}. [/ math]

Esto realmente se aplica a cualquier matriz válida D ; La ventaja de una matriz diagonal es que para exponer la matriz, solo tiene que exponer las entradas diagonales (y las diagonales son ceros).

La pregunta que realmente haces es bastante diferente. Hablemos primero sobre 3.2.44. Supongo que esa ecuación en sí no es un problema para usted: debe reconocer la serie de potencias para cos y sin , y debe usar el resultado de que las matrices de Pauli son ortonormales:

[math] \ mathbf {\ sigma} _i \ mathbf {\ sigma} _j = \ delta_ {ij}. [/ math]

Quizás te confundió la notación: en un ligero abuso, [math] \ mathbf {\ sigma} [/ math] y [math] \ mathbf {\ hat {n}} [/ math] son ​​en realidad 3 vectores :

[math] \ mathbf {\ sigma} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} \ equiv n_x \ mathbf {\ sigma} _x + n_y \ mathbf {\ sigma} _y + n_z \ mathbf {\ sigma} _z. [/matemáticas]

Una vez que obtenga eso, debe obtener cómo cada uno de los términos en la respuesta 2 × 2 en 3.2.45 proviene de la expresión en 3.2.44. Por ejemplo, dado que la matriz z Pauli es {{1, 0}, {0, -1}}, obtienes nz sin términos en la diagonal.