Cómo demostrar que [math] \ DeclareMathOperator {\ ker} {ker} \ ker (f ^ p) \ subset \ ker (f ^ {p + 1}) [/ math]

Answer 1

Suponiendo que p es un mapa lineal desde un espacio vectorial V hacia sí mismo, no puedo pensar en otras condiciones para que esto tenga sentido, entonces esto es una especie de persecución de diagrama. Puedes generalizar desde este caso.

[matemática] p: V \ rightarrow V p ^ 2: p (V) \ rightarrow p (p (V) [/ math]

Deje a, b estar en ker (p). Entonces [matemáticas] p (a) = p (b) = 0 [/ matemáticas], de modo que, dado que p es lineal: [matemáticas] p (p (a)) = p (p (b)) = p (0 ) = 0 [/ matemáticas]. también por linealidad, [matemáticas] p (a + b) = p (a) + p (b) = 0; p (p (a) + p (b)) = p (p (a)) + p (p (b)) = 0 + 0 = 0 [/ matemáticas], similar para [matemáticas] p (ra) [/ matemática] para a en el campo de coeficiente. Esto muestra que a, b en Ker (p) también están en [math] Kerp ^ 2 [/ math], donde p ^ 2: = pop (composición de p consigo mismo).

Y esto le da el caso base inductivo que ahora puede generalizar con una prueba por inducción en n, el número de iteraciones de p.

Answer 2

(Supongo que [math] f [/ math] es un endomorfismo de espacio vectorial).

Si [math] x \ in \ ker (f ^ p) [/ math], entonces [math] f ^ p (x) = 0 [/ math] [math]. [/ Math] Entonces

[matemáticas] f ^ {p + 1} (x) = (f \ circ f ^ {p}) (x) = f (0) = 0 [/ matemáticas]

Como consecuencia [math] x \ in \ ker (f ^ {p + 1}) [/ math] o [math] \ ker (f ^ p) \ subset \ ker (f ^ {p + 1}) [/ matemáticas].

Con respecto a la pregunta original: como el núcleo de un homomorfismo de espacio vectorial es siempre un subespacio del espacio vectorial de dominio, esto es especialmente cierto para un endomorfismo. Entonces [math] \ ker (f ^ p) [/ math] no es solo un subconjunto, sino también un subespacio de [math] \ ker (f ^ {p + 1}) [/ math].