Puede ir con la respuesta de Damon Craig (la serie de matriz infinita) si solo desea calcular la respuesta numéricamente.
De lo contrario, la técnica principal es usar la relación
[matemáticas] e ^ {BCB ^ {- 1}} = Be ^ CB ^ {- 1}. [/ matemáticas]
La idea es encontrar matrices [matemática] B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática] donde [matemática] A = BCB ^ {- 1} [/ matemática] y donde es fácil calcular [matemática] e ^ C [/ matemáticas]. Eso divide el problema en dos partes. Tomando la segunda parte primero, es relativamente fácil calcular [matemáticas] e ^ C [/ matemáticas] cuando [matemáticas] C [/ matemáticas] es una matriz diagonal, y en muchos casos es posible organizar [matemáticas] C [/ matemáticas] para ser diagonal. La razón por la que es relativamente fácil es que [matemática] e ^ C [/ matemática] para una matriz diagonal es otra matriz diagonal, donde cada entrada es [matemática] e ^ u [/ matemática] donde [matemática] u [/ matemática] es la entrada correspondiente de [matemáticas] C [/ matemáticas]. Para comenzar, intente escribir [matemáticas] A [/ matemáticas] en la forma [matemáticas] BCB ^ {- 1} [/ matemáticas] donde [matemáticas] C [/ matemáticas] es una matriz diagonal. Ese es un procedimiento completo en sí mismo: calcular los vectores propios de [math] C [/ math]. Cuando hay un conjunto completo de vectores propios, entonces este enfoque es un éxito. Wikipedia tiene una página sobre este proceso: descomposición propia de una matriz – Wikipedia.
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Cuando [math] C [/ math] no tiene un conjunto completo de vectores propios (es decir, no tiene n vectores propios linealmente independientes, donde n es el número de filas), decimos que [math] C [/ math] no se puede diagonalizar y tenemos que pasar por un proceso más complejo. Si no podemos hacer diagonal [matemática] C [/ matemática], al menos podemos hacer que sea la forma canónica de Jordan (forma normal de Jordan – Wikipedia). Entonces, el exponencial todavía se puede evaluar, pero la fórmula no es tan simple.
Recuerde que una vez que calcule [math] e ^ C [/ math] que debe regresar y aplicar [math] B [/ math] y [math] B ^ {- 1} [/ math] para obtener el resultado final, [matemáticas] Be ^ CB ^ {- 1} [/ matemáticas].
La fórmula para el exponencial de un bloque de Jordan y un montón de información adicional (tal vez más de lo que necesita) está disponible en la página de Wikipedia para esto, Matrix exponencial – Wikipedia.
En general hay un llamado cálculo funcional de matrices, donde en lugar de la función [math] e ^ x [/ math] tenemos alguna otra función [math] f (x) [/ math] para aplicar a una matriz. Del mismo modo, si [math] f [/ math] tiene una serie de potencias, podemos aplicar la misma serie a [math] A [/ math] si la serie converge para [math] A [/ math], y de lo contrario para una matriz diagonalizable podemos aplicar [math] f [/ math] a la forma diagonal de [math] A [/ math], y si [math] A [/ math] no se puede diagonalizar, hay una fórmula para [math] f (C ) [/ math] donde [math] C [/ math] es la forma de Jordan de [math] A [/ math], en términos de [math] f [/ math] y sus derivados (fantasía, huh).