Cómo probar si [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son ​​dos conjuntos, [matemática] AB = BA \ iff A = B [/ matemática]

Answer 1

Para probar que [matemática] AB = BA \ iff A = B [/ matemática] debemos demostrar y [matemática] AB = BA [/ matemática] implica [matemática] A = B [/ matemática] y que [matemática] A = B [/ math] implica [math] AB = BA [/ math].

Declaración 1: si un elemento está en [matemáticas] AB [/ matemáticas] significa que está en [matemáticas] A [/ matemáticas] pero no en [matemáticas] B [/ matemáticas].

Declaración 2: si un elemento está en [matemática] BA [/ matemática] significa que está en [matemática] B [/ matemática] pero no en [matemática] A [/ matemática].

Si [math] AB = BA [/ math] significa que cualquier elemento en [math] AB [/ math] también está en [math] BA [/ math] y viceversa. Esto implicaría, debido a las afirmaciones 1 y 2, que un elemento en [matemáticas] A [/ matemáticas] pero no en [matemáticas] B [/ matemáticas] también está en [matemáticas] B [/ matemáticas], pero no en [ matemáticas] A [/ matemáticas]. Sin embargo, dicho elemento no puede existir, por lo tanto, [math] AB = BA = \ emptyset [/ math], por lo tanto [math] A = B [/ math].

Usando la plantilla de mi prueba para la primera implicación, ahora te dejaré hacer la segunda implicación.

Estaré aquí para responder cualquier pregunta que pueda tener.

Answer 2

[math] \ Rightarrow [/ math]: Sea [math] AB = BA. [/ math] Si algún elemento [math] a [/ math] está en [math] AB [/ math] y al mismo tiempo en [ math] BA [/ math], entonces debe estar en [math] A [/ math] y en [math] B [/ math], pero también [math] a \ not \ in A \ land a \ not \ in B [/ matemáticas]. Esto sería contradictorio para cualquier elemento [math] a [/ math], por lo que [math] BA = AB = \ emptyset. [/ Math] Pero esto significa [math] B \ subset A \ land A \ subighset B \ Rightarrow A = B [/ matemáticas].

[matemáticas] \ Leftarrow [/ matemáticas]: Sea [matemáticas] A = B [/ matemáticas]. Entonces claramente [math] AB = BA = \ emptyset [/ math].

Answer 3

La prueba se realiza en dos partes.

Primero necesitamos probar que [matemática] A = B \ implica (A – B) = (BA) [/ matemática]. Una vez que tenemos que A = B, también sabemos que [math] \ forall x \ in A, x \ in B [/ math] y [math] \ forall x \ in B, x \ in A [/ math] . Entonces, si eliminamos todos los elementos de A de B, tendremos un conjunto vacío. Del mismo modo, si eliminamos todos los elementos de B de A, tendremos un conjunto vacío. De esta manera, (A = B) = (BA) = [math] \ emptyset [/ math].

La segunda parte es un poco más difícil. Necesitamos demostrar que [matemáticas] (A- B) = (BA) \ implica A = B [/ matemáticas]. Una vez que tenemos que (AB) = (BA), el conjunto C de todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B es igual al conjunto D de todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A. Si [math] C \ cap D \ ne \ emptyset [/ math], hay un elemento x que pertenece a A y no pertenece a B AND pertenece a B, y no pertenece a A, lo que es absurdo. De esta manera [math] C \ cap D = \ emptyset [/ math]. Dos conjuntos son iguales y tienen una intercepción vacía si y solo si ambos son conjuntos vacíos. [math] AB = \ emptyset [/ math] si y solo si [math] A \ subset B [/ math] y [math] BA = \ emptyset [/ math] si y solo si [math] A \ subset B [ /matemáticas]. Si [matemáticas] A \ subconjunto B [/ matemáticas] y [matemáticas] A \ subconjunto B [/ matemáticas], por definición A = B.

Answer 4

“<="

Si A = B, entonces AB = $ \ emptyset $ y BA = $ \ emptyset $.

Entonces AB = $ \ emptyset $ = BA.

“=>”

Primero mostramos que AB = BA solo se cumple si AB = $ \ emptyset $ = BA.

Suponga, por el contrario, que para algunos x, x $ \ elem $ AB. Entonces x $ \ elem $ A yx $ notelem $ B. Como AB = BA, entonces también tenemos x $ \ elem $ B – A, que significa x $ \ elem $ B yx $ \ notelem $ A. Ahora tenemos tener

x $ \ elem $ A y x $ \ notelem $ A y x $ \ notelem $ B y x $ \ elem $ B

todo aguantando simultáneamente, lo cual es imposible.

Por lo tanto, tenemos AB = $ \ emptyset $ y BA = $ \ emptyset $, lo que indica que

A $ \ subseteq $ B y B $ \ subseteq $ A.

Por lo tanto, A = B.

Answer 5

Primero, debe quedar claro que para cualquier conjunto [matemático] A [/ matemático] y [matemático] B [/ matemático], los dos conjuntos [matemático] AB [/ matemático] y [matemático] BA [/ matemático] pueden tener sin elementos en común: si [matemática] x \ en AB [/ matemática], entonces [matemática] x [/ matemática] no está en [matemática] B [/ matemática], entonces [matemática] x [/ matemática] no puede ser en [matemáticas] BA \ subseteq B [/ matemáticas]; y viceversa. En particular, la intersección de [math] AB [/ math] y [math] BA [/ math] siempre está vacía: [math] (AB) \ cap (BA) = \ emptyset [/ math].

Si ahora suponemos que [math] AB = BA [/ math], obtenemos:

[matemáticas] (AB) = (AB) \ cap (AB) = (AB) \ cap (BA) = \ conjunto vacío. [/ math]

Como [math] (AB) [/ math] está vacío, cada elemento de [math] A [/ math] también está en [math] B [/ math]; es decir, [math] A \ subseteq B [/ math]. Por un razonamiento similar, vemos [math] B \ subseteq A [/ math]. Finalmente

[matemáticas] A \ subseteq B \ text {y} B \ subseteq A \ Rightarrow A = B. [/ math]

Answer 6

[matemática] “\ Rightarrow” [/ matemática] Prueba con contraposición:

Supongamos que [matemáticas] A \ neq B [/ matemáticas]

sin pérdida de generalidad, suponga que [matemática] a \ en A [/ matemática] y [matemática] a \ notin B [/ matemática]

entonces [matemáticas] a \ en A \ setminus B [/ matemáticas] y [matemáticas] a \ notin B \ setminus A [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] A \ setminus B \ neq B \ setminus A [/ math].

[matemáticas] “\ Leftarrow” [/ matemáticas]

[matemática] A = B \ Rightarrow A \ setminus B = \ emptyset = B \ setminus A [/ math]

Prueba completada 🙂

Answer 7

Utilizo la propiedad algo obvia de que para dos conjuntos [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática],

[matemáticas] X \ cup Y = Y \ Leftrightarrow X \ subseteq Y [/ math].

De ello se deduce que para los conjuntos [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas],

[matemática] (AB) \ subseteq A \ Leftrightarrow (AB) \ cup A = A [/ math],

y

[matemática] (BA) \ subseteq B \ Leftrightarrow (BA) \ cup A = B. [/ math]

También uso el hecho de que la unión es un operador conmutativo, es decir, para los conjuntos [matemática] P [/ matemática] y [matemática] Q [/ matemática],

[matemática] P \ cup Q \ Leftrightarrow Q \ cup P [/ math].

Una cosa más antes de comenzar:

[matemáticas] PP = \ O [/ matemáticas].

Ahora resolvemos la pregunta.

–

Paso 1: Muestra que [matemática] A = B \ Rightarrow AB = BA [/ matemática].

[matemáticas] AB = AA = \ O = BB = BA [/ matemáticas].

Paso 2: Muestre que [matemáticas] AB = BA \ Flecha derecha A = B [/ matemáticas].

LHS [matemática] = [/ matemática] [matemática] A = (AB) \ cup A = (BA) \ cup A = B \ cup A [/ math]

RHS [matemáticas] = B = (BA) \ taza B = (AB) \ taza B = A \ taza B = B \ taza A = [/ matemáticas] LHS

–

Trabajo hecho.

Answer 8

Podemos probar esto muy fácilmente por contradicción. Supongamos que A ≠ B. Entonces existe un elemento x tal que x ∈ A pero x ∉ B o viceversa.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que x but A pero x but B pero luego x ∈ AB pero x, BA, lo que contradice el hecho de que AB = BA. Entonces nuestra suposición es incorrecta, por lo tanto, A = B.

Answer 9

Hubiera usado álgebra en esta situación,

2A = 2B ← el 2 se tacha desde cualquier lado

Por lo tanto, A = B