Las matrices anti-diagonales son mucho menos útiles que las matrices diagonales, pero pueden tener algunas aplicaciones.
La matriz anti-diagonal [math] P [/ math] con todos los elementos anti-diagonal iguales a [math] 1 [/ math] es la matriz de permutación que invierte el orden de los elementos de los vectores. Es decir, si [math] x [/ math] es un vector de dimensión apropiada, entonces [math] Px [/ math] tiene los mismos elementos que [math] x [/ math], pero en orden inverso. Esto puede ser útil para algunos cálculos teóricos o numéricos.
Si [math] A [/ math] es una matriz antiagonal general y [math] D_1 [/ math], [math] D_2 [/ math] son las matrices diagonales que contienen los elementos anti-diagonal de [math] A [/ math] en sus diagonales (en ambas órdenes), luego [math] A = D_1P [/ math] y [math] A = PD_2 [/ math]. Tenga en cuenta también que [matemática] P [/ matemática] es una matriz ortogonal simétrica, es decir, [matemática] P ^ 2 = I [/ matemática].
Estas observaciones proporcionan algunos resultados teóricos simples acerca de las matrices anti-diagonales, por ejemplo, que el producto de dos matrices anti-diagonales es una matriz diagonal, o que el valor absoluto del determinante de una matriz anti-diagonal es el producto del anti- elementos diagonales
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Además, el hecho de [matemática] A = D_1P [/ matemática] puede usarse para cierta intuición geométrica sobre la transformación lineal correspondiente a [matemática] A [/ matemática]: Para cualquier conjunto [matemática] \ matemática {O} [/ math] de vectores de dimensión apropiada, [math] A \ mathcal {O} [/ math] se puede obtener realizando primero la transformación ortogonal específica de [math] \ mathcal {O} [/ math] que corresponde a la inversión de coordenadas, y luego estirar o encoger el objeto resultante por separado en cada coordenada.
Análogamente, el hecho de [matemáticas] A = PD_2 [/ matemáticas] significa que [matemáticas] A \ matemática {O} [/ matemáticas] puede obtenerse primero estirando o encogiendo [matemáticas] \ matemáticas [O} [/ matemáticas] por separado en cada coordenada, y luego realizando la transformación de [math] \ mathcal {O} [/ math] que corresponde a la inversión de las coordenadas.