¿Cuál es la diferencia entre representaciones de espacio de estado lineales y no lineales?

Gracias por el A2A.

Antes de que comprendamos la representación del espacio de estado, podría ser útil discutir algunos conceptos teóricos del sistema.

Entonces hay una cosa, llamémosla planta. Puede ser un proceso físico, una fórmula, un automóvil, un juguete, un avión … lo que sea que lo llamemos planta. Resumamos un poco sobre eso: la planta tiene entradas y salidas. Pueden ser cualquier cosa, cualquier señal, fuerza, etc. ¿Qué relaciona las entradas y las salidas? Es la planta. Algo dentro de la planta tiene que tomar la entrada (señales) y darles forma en la salida (señales).

Es por eso que tenemos representaciones de espacio de estado. Comprender la dinámica interna de la planta. Más formalmente, las representaciones del espacio de estado capturan la dinámica interna de la planta. La representación del espacio de estado puede ayudarnos a comprender las propiedades de estabilidad interna de una planta. Para que un sistema sea internamente estable, la planta debe estar bien posicionada.

¿De dónde viene esta representación interna? Se produce cuando reorganizamos las ecuaciones diferenciales originales que rigen la planta con la que estamos trabajando en una serie de ecuaciones diferenciales de primer orden. Entonces, si tuviera una ecuación diferencial de orden n que se usó para modelar mi planta, para ponerla en forma de espacio de estado reorganizaría las cosas para poder escribir n ecuaciones diferenciales de primer orden para modelarla ahora. Cuando hacemos eso, hemos pasado de una representación de la planta a la representación espacial de la planta.

Ahora, para responder a su pregunta, la ecuación diferencial puede ser lineal o no lineal. Qué significa eso? Las ecuaciones diferenciales lineales son aquellas que pueden reducirse a la forma [matemática] Ly = f [/ matemática] donde [matemática] L [/ matemática] es algún operador lineal. Entonces, por ejemplo, la ecuación diferencial de péndulo tiene un término pecado y ciertamente no sería lineal. Al estudiar la representación del espacio de estado del péndulo, uno puede obtener información sobre la dinámica interna (estados) de la planta, incluso en el caso no lineal. Por el contrario, el enfoque clásico de dominio de frecuencia que modela plantas como sistemas lineales de entrada y salida no le permite a uno observar la estabilidad interna del sistema, sin mencionar que no es capaz de modelar sistemas no lineales (generalmente, hay excepciones )

Para una discusión más detallada sobre estos temas, vea mi tesis de maestría aquí o aquí.