¿Qué problemas se pueden resolver con álgebra lineal, que un principiante puede apreciar?

Answer 1

En mi opinión, el álgebra lineal es un tema de naturaleza técnica. Lo estudias principalmente para adquirir herramientas útiles para otras materias. Usando sus palabras, el álgebra lineal es un entrenamiento para obtener más “superpoderes”. Voy a enumerar algunos temas en los que surgen el álgebra lineal.

ANÁLISIS

Cuando se acerca al análisis de más variables, intenta extender el concepto de derivada de una variable. Brevemente, aproxima una función f: R ^ n -> R ^ n cerca de 0 con una función lineal Df: R ^ n -> R ^ n: algo así como

Para ‘pequeño’ x en R ^ n, tienes f (x) ~ f (0) + Df (x)

Esto se extiende incluso a múltiples lisos (cosas que localmente se parecen a R ^ n; una esfera es un doble múltiple, porque localmente parece un plano).

¿Por qué hacerlo? Porque en su curso estudiará todo sobre las funciones lineales, y así sabrá mucho sobre una función ‘diferenciable’ cerca del 0. Esto tiene grandes consecuencias en el siguiente párrafo.

SISTEMAS DINÁMICOS

En muchas situaciones (incluso reales), puede modelar la evolución de un ‘sistema’ (n cantidades reales X_1, .., X_n) mediante una ecuación diferencial:

X_1 ′ (t) = F_1 (X_1 (t),…, X_n (t))

..

X_n ‘(t) = F_n (X_1 (t),…, X_n (t))

Si llama a X el vector (X_1, …, X_n), esto puede escribirse de manera concisa como X ‘(t) = F (X (t)), donde F es una función de R ^ n a R ^ n. Suponga que puede aproximar F con una función lineal L como dije antes. Entonces, en algunos casos, es cierto que el sistema se comporta más o menos como si fuera una aproximación

X ‘(t) = L (X (t))

Y esto se puede resolver explícitamente con métodos de álgebra lineal (probablemente estudiarás la forma de Jordan de una función lineal). Esto tiene enormes aplicaciones en la vida real: modelos biológicos (como la evolución de la población), sistemas físicos, predicciones financieras …

REPRESENTACIÓN DE GRUPOS

Puede recopilar mucha información sobre un grupo al ‘actuar’ en un espacio vectorial. Aquí, se necesita una gran cantidad de álgebra lineal para lograr los principales resultados. Formalmente, una representación es un homomorfismo de un grupo G a GL (V) (funciones lineales invertibiles de V a V). Informalmente, esto significa pensar en un elemento g en G como una función lineal que actúa sobre V.

La representación de grupos finitos tiene varias aplicaciones en la teoría de números, especialmente la representación de Z / nZ (números módulo n con suma de un grupo).

En cambio, la representación de grupos compactos desempeña un papel fundamental en la mecánica cuántica y el análisis. ¿Qué es un grupo compacto? Esto es realmente difícil de explicar, así que solo haré un ejemplo: la circunferencia. Puede agregar dos elementos en la circunferencia tomando la suma de sus ángulos con el lado derecho del eje x para obtener un tercer elemento. Esto convierte la circunferencia en un grupo. Además, es ‘pequeño’ en algún sentido (está limitado en el plano; por ejemplo, una línea no es ‘pequeño’). El estudio de las representaciones de la circunferencia produce un resultado muy importante de una manera muy elegante: la extensión de Fourier de una función continua periódica de R a R.

Y esto tiene muchas aplicaciones: por ejemplo, la teoría de señales e información que nuestras computadoras usan diariamente para comunicarse entre sí.

Answer 2

En 1987, inventé Google.

OK, en realidad no inventé Google en 1987. Pero podría haberlo hecho, porque fue cuando tomé mi primer curso de álgebra lineal .

El algoritmo de clasificación de páginas de Google se basa en conceptos aprendidos en la primera parte del álgebra lineal.

La vista rápida: imagine un conjunto de páginas web conectadas. Los surfistas pueden seguir enlaces a otras páginas web o “teletransportarse” a alguna página web aleatoria. El número de surfistas en cada página es una medida del rango de la página web.

La vista más profunda:

• Deje que [math] x_ {k} (t) [/ math] sea el número de surfistas en cada una de las n páginas web en el momento t,
• [matemáticas] x_ {k} (t + 1) = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ alpha_ {k, i} x_ {i} (t) [/ matemáticas]
• Las [matemáticas] \ alpha_ {k, i} [/ matemáticas] forman la matriz de coeficientes A,
• La solución de estado estacionario para [math] Ax = x [/ math] proporciona la clasificación relativa del conjunto de páginas web.

(Y va de allí … más tarde en álgebra lineal, hablas de valores propios, que se utilizan para producir un análisis aún más sofisticado de la estructura de la web)

Answer 3

Es sorprendentemente útil.

El álgebra lineal da una buena notación para manejar objetos multidimensionales. Un punto en [math] \ mathbb R ^ n [/ math] se representa como un vector. Y un sistema de ecuaciones se representa como una matriz. Y una vez que tenga un conjunto de objetos para representar un sistema de coordenadas muli-dimensional, el álgebra lineal proporciona las herramientas para transformar ese sistema de coordenadas.

Dado que la diferenciación es un operador lineal, hay muchas aplicaciones de álgebra lineal en el cálculo. El álgebra lineal es un requisito previo antes de pasar al cálculo multivariante. Y, al igual que una ecuación matricial puede representar un sistema de ecuaciones lineales, también puede representar un sistema de ecuaciones diferenciales.

Aparece en las estadísticas. La desviación estándar de una variable aleatoria es la norma del vector, y la covarianza entre dos variables es un producto interno.

La ecuación de Cauchy-Schwartz es una propiedad del producto interno, y Cauchy-Schwartz implica el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Las funciones ortogonales aparecen en el Análisis de Fourier (análisis de formas de onda).

Y, Álgebra lineal puede servir como punto de partida para pasar al álgebra abstracta.

Answer 4

Una aplicación importante del álgebra lineal es la programación lineal (LP) que permite optimizar una función lineal con restricciones lineales (por ejemplo, el método Simplex).

¡La primera aplicación de LP fue maximizar la efectividad de las patrullas anti-Uboat en la Segunda Guerra Mundial!

(Lo que descubrieron fue que la forma de obtener el mayor tonelaje a través del Atlántico era volar patrullas donde estaban los barcos, no donde estaban los Uboats. Es decir, en lugar de tratar de hundir tantos submarinos como pudimos (que es lo que los pilotos preferido), use los aviones para proteger las naves).