Cómo demostrar que todas las entradas diagonales principales de la matriz antisimétrica son ceros

responderé esto con una prueba

considere una matriz cuadrada de 3 por 3

por definición ,

una matriz simétrica sesgada es una matriz cuadrada cuya transposición es igual a su negativa; es decir, satisface la condición

tomando transposición de A

observe que los elementos de diagnóstico permanecen igual

ahora toma -A =

como sabemos, dos matrices son iguales si sus elementos correspondientes son iguales

entonces, a = – a => 2a = 0 => a = 0

de manera similar, e = 0 e i = 0

los elementos restantes pueden no ser necesariamente cero

por ejemplo, d = – b, no necesariamente significa d o b o ambos son cero

Lo importante aquí es que los elementos de diagnóstico en ambos resultados son cero

Esto es cierto para cualquier matriz simétrica sesgada

entonces, la respuesta es diagnosticar elementos de una matriz simétrica sesgada siempre es cero, esto en virtud de su definición, su propiedad, tiene que ser cero, de lo contrario no satisfará la condición de ser simétrica sesgada

🙂

Se dice que una matriz cuadrada [matemática] A = a_ {ij}, 1 ≤ i, j ≤ n [/ matemática] es asimétrica si es igual al negativo de su transposición, es decir, [matemática] A = – A ^ T [/ matemáticas].

Ahora, [matemáticas] A = -A ^ T \ implica (A) _ {ij} = – (A ^ T) _ {ij} \ implica a_ {ij} = – a_ {ji} … .. (I) [ /matemáticas]

Para elementos diagonales, [matemática] i = j [/ matemática]

Entonces, [matemáticas] (I) [/ matemáticas] se convierte en

[matemáticas] a_ {ii} = – a_ {ii} \ implica a_ {ij} + a_ {ii} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 a_ {ii} = 0 [/ matemáticas]

[math] \ implica [/ math] [math] \ boxed {a_ {ii} = 0} [/ math]

Una matriz cuadrada [matemática] A [/ matemática] es antisimétrica si [matemática] A_ {ij} = – A_ {ji} [/ matemática] para cualquier par de índices [matemática] i, j [/ matemática] entre [matemática] 1 [/ math] y [math] n [/ math], el número de filas (o columnas).

¿Qué sucede cuando [matemáticas] i = j [/ matemáticas]?

Porque 0 sigue siendo 0 incluso cuando se inserta un signo negativo delante de él.

La matriz simétrica oblicua tiene una condición de A = -transposición (A)