Denotando los componentes x e y de [math] \ vec {b} (x, y) [/ math] por [math] b_ {x} [/ math] y [math] b_ {y} [/ math], nosotros tener [matemáticas] b_ {x} = 2x-3y [/ matemáticas], [matemáticas] b_ {y} = 2y-3x [/ matemáticas]. Ahora, [math] \ frac {\ partial b_ {x}} {\ partial y} = \ frac {\ partial b_ {y}} {\ partial x} [/ math] sugiriendo que existe una función escalar [math] \ phi [/ math] tal que [math] \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} = b_ {x} = 2x-3y [/ math] y [math] \ frac {\ partial \ phi} { \ partial y} = b_ {y} = 2y-3x [/ math]. De la primera ecuación, obtenemos [math] \ phi (x, y) = x ^ {2} -3xy + f (y) [/ math]. Diferenciando parcialmente wrt y, [matemática] \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} = – 3x + f ‘(y) [/ matemática]. Pero de lo anterior, [math] \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} = 2y-3x [/ math]. Entonces, [matemáticas] f ‘(y) = 2y [/ matemáticas], o [matemáticas] f (y) = y ^ {2} + [/ matemáticas] constante. Por lo tanto, [math] \ phi (x, y) = x ^ {2} -3xy + y ^ {2} + [/ math] constante. Este es el anti-derivado de [math] \ vec {b} (x, y) [/ math] como [math] \ vec {b} (x, y) = \ nabla \ phi (x, y) [/ matemáticas].
Nuevamente, para [math] \ vec {c} (x, y) [/ math], [math] c_ {x} = \ frac {y} {(x + y) ^ {2}} [/ math], [matemáticas] c_ {y} = \ frac {-x} {(x + y) ^ {2}} [/ matemáticas]. Vemos que [math] \ frac {\ partial c_ {x}} {\ partial y} = \ frac {\ partial c_ {y}} {\ partial x} [/ math]. Esto significa que hay una función escalar [matemática] \ phi [/ matemática] tal que [matemática] \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} = c_ {x} = \ frac {y} {(x + y) ^ {2}} [/ math] y [math] \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} = c_ {y} = \ frac {-x} {(x + y) ^ {2} }[/matemáticas]. Al integrar [matemáticas] \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} = c_ {x} = \ frac {y} {(x + y) ^ {2}} [/ matemáticas] manteniendo y constante, obtenemos [matemáticas] \ phi (x, y) = \ int \ frac {y} {(x + y) ^ {2}} dx + f (y) = \ frac {-y} {x + y} + f ( y) [/ matemáticas]. Al diferenciar esto parcialmente wrt y, da [math] \ frac {-x} {(x + y) ^ {2}} + f ‘(y) [/ math]. Pero sabemos que [math] \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} = c_ {y} = \ frac {-x} {(x + y) ^ {2}} [/ math]. Entonces, [matemática] f ‘(y) = 0 [/ matemática] o [matemática] f (y) = [/ matemática] constante. Por lo tanto, [math] \ phi (x, y) = \ frac {-y} {x + y} + [/ math] constante. Este es el anti-derivado de [math] \ vec {c} (x, y) [/ math], ya que [math] \ vec {c} (x, y) = \ nabla \ phi (x, y) [ /matemáticas].