¿Cuál es la prueba del límite de las funciones de valor vectorial igual al vector de límite de sus funciones componentes?

Answer 1

Suponga que [math] F: \ mathbb {R} ^ m \ to \ mathbb {R} ^ n [/ math] es alguna función y que [math] \ lim _ {\ mathbf {x} \ to \ mathbf {x} _0 } F (\ mathbf {x}) = \ mathbf {y} _0 \ in \ mathbb {R} ^ n. [/ Math] Sea [math] \ mathbf {e} _1, \ ldots, \ mathbf {e} _n [/ math] sea el vector base estándar en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Deje que [math] P_j: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ n [/ math] sea la proyección ortogonal sobre [math] e_j [/ math] (esto significa [math] P_j (\ mathbf { y}) = (\ mathbf {e} _j \ cdot \ mathbf {y}) \ mathbf {e} _j. [/ math])

Hecho 1: Lo que llama “funciones componentes” son secretamente solo [math] P_j (F (\ mathbf {x})). [/ Math]

Hecho 2: Del mismo modo, los “componentes” de cualquier vector [math] \ mathbf {y} [/ math] [math] \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math] están dados por [math] P_j (\ mathbf {y}). [/ matemáticas]

Hecho 3: Las funciones [math] P_j [/ math] son ​​transformaciones lineales, por lo que son continuas (ya que [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] es de dimensión finita). [matemáticas] [/ matemáticas]

Hecho 4: Recuerde que para cualquier función continua [matemáticas] G: \ mathbb {R} ^ p \ to \ mathbb {R} ^ q [/ math], [math] \ lim _ {\ mathbf {x} \ to \ mathbf {x} _0} G (\ mathbf {x}) = G (\ mathbf {x} _0) [/ math]

Poner todo junto y ¿qué obtenemos?

[math] \ lim _ {\ mathbf {x} \ to \ mathbf {x} _0} P_j (F (\ mathbf {x})) = P_j (\ mathbf {y} _0). [/ math]

Answer 2

Bueno, puede operar vectores rigurosamente para obtener un límite (puede definir la suma y el producto escalar por métodos geométricos sintéticos, pero puede obtener el límite por este camino)

En cualquier caso, su afirmación es verdadera para la definición. Lo único que debe demostrarse es la covarianza del límite, pero no falsificamos que en la definición del límite necesitamos el resto (inverso de sumar, todo el espacio vectorial tiene esta operación) y los vectores gráficos y todos los Las generalizaciones matemáticas del vector con el producto tienen una función de distancia. Cuando estas 2 cosas pueden definir límites en un espacio vectorial métrico, entonces la covarianza es trivial

Answer 3

Dejar

[matemáticas] | v | _ \ infty = max | v_i |, | v | _2 = \ sqrt {\ sum v_i ^ 2} [/ matemáticas]

Observe que [math] | v | _ \ infty \ leq | v | _2 \ leq \ sqrt {n} | v | _ \ infty [/ math]

lo que significa que ambas normas son equivalentes. Esto significa que si su función tiene un límite (está cerca de algún vector en algún momento), entonces todos los componentes de la función también están cerca de los componentes de ese vector y viceversa. Tenga en cuenta que esta propiedad falla cuando el espacio no tiene dimensiones finitas. Allí, si su función tiene un límite, todos los componentes también tienen un límite, pero no al revés.