Por lo tanto, desea probar que para un endomorfismo de espacio vectorial dado [matemática] f [/ matemática], si existe cierta [matemática] t \ in \ Z [/ matemática] tal que [matemática] \ text {Ker} (f ^ t) = \ text {Ker} (f ^ {t + 1}) [/ math] entonces tenemos [math] \ text {Ker} (f ^ p) = \ text {Ker} (f ^ t), [/ math] [math] \ forall p \ geq t \ in \ Z [/ math].
En primer lugar, es bastante sencillo que [math] \ text {Ker} (f ^ t) = \ text {Ker} (f ^ {t + 1}) [/ math] es equivalente a [math] \ forall x \ notin \ text {Ker} (f ^ t), y = f ^ t (x) \ notin \ text {Ker} (f) [/ math].
De la misma manera, tenemos [math] \ forall x \ notin \ text {Ker} (f ^ {t + 1}) [/ math], [math] y = f ^ {t + 1} (x) \ notin [/ math] [math] \ text {Ker} (f) [/ math] ya que [math] \ text {Ker} (f ^ t) = \ text {Ker} (f ^ {t + 1}) [/ matemáticas]. Eso significa que [math] \ text {Ker} (f ^ {t + 1}) = \ text {Ker} (f ^ {t + 2}) [/ math], y así sucesivamente …
Esta recurrencia demuestra que [matemáticas] \ forall p \ gt t, \ text {Ker} (f ^ p) = \ text {Ker} (f ^ {p-1}) =… = \ text {Ker} (f ^ t) [/ matemáticas].
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Ver Inducción matemática – Wikipedia.