Para las EDO lineales de primer orden, existe una solución analítica simple.
Para las EDO de orden superior, no existe un método analítico que las resuelva. De hecho, algunas (la mayoría) ODE de segundo orden no pueden resolverse analíticamente.
La ecuación de Mathieu es un buen ejemplo de tal ODE. Me hace estremecer solo de pensarlo. La ecuación de Mathieu es
[matemáticas] f ” (x) + [a-2q \ cos (2x)] f (x) = 0 [/ matemáticas],
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donde ayq son constantes. Para cada valor de a y q, hay dos soluciones: la función de Mathieu par y la función de Mathieu impar. ¡Estas funciones son tan horribles que ni siquiera tienen una forma cerrada como una serie infinita! Se sabe cómo expresarlos como una suma infinita de funciones seno (para la función Mathieu impar) o funciones coseno (para la función Mathieu par), pero no hay una forma cerrada para los coeficientes, solo relaciones de recursión entre ellos.
Ahora, ¿llamarías a eso una solución analítica?