Una matriz es una representación de una transformación lineal.
Las transformaciones lineales se pueden clasificar como
rotaciones
reflexiones
escaldamientos
combinaciones de lo anterior
Si realizamos una transformación de similitud a un sistema de coordenadas diferente, la matriz no cambia su naturaleza (si antes era una rotación, todavía lo es, etc., si es una escala de 2 en una dirección, de 3 en una dirección ortogonal , esas propiedades se conservan).
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En la mayoría de los casos (no todos), una matriz es similar a una matriz diagonal , donde las propiedades geométricas se pueden inferir fácilmente de los valores de las entradas diagonales. Estos se conocen como los valores propios y son invariantes geométricos . De manera similar, la transformación lineal para llevar la matriz a esta forma se construye combinando columnas de los vectores propios para cada valor propio.
Intuitivamente, la matriz, vista como una transformación lineal, es muy simple cuando se usa un sistema de coordenadas apropiado.