Copio debajo de mi respuesta a otra pregunta sobre Quora, en la que doy una intuición del rango de una matriz:
Una matriz [math] m \ times n [/ math] es una transformación lineal de vectores en [math] R ^ n [/ math] a vectores en [math] R ^ m [/ math].
Es decir, piense en el espacio [matemáticas] R ^ n [/ matemáticas] (como una generalización del espacio [matemáticas] R ^ 3 [/ matemáticas] en el que vivimos). Cada punto en este espacio se puede representar como un vector n-dimensional (donde cada dimensión es una de sus coordenadas). La línea que une el origen a este punto es un vector correspondiente a este punto. Del mismo modo, imagine un espacio [matemática] R ^ m [/ matemática]. Ahora, dada una matriz A de tamaño [matemática] m \ veces n [/ matemática], para cualquier vector en [matemática] R ^ n [/ matemática], puede multiplicarla por la matriz para obtener un vector en [matemática] R ^ m [/ matemáticas].
Ahora es posible que las imágenes de todos los vectores en [matemáticas] R ^ n [/ matemáticas] no “llenen” todo el espacio [matemáticas] R ^ m [/ matemáticas]. La dimensión del espacio “lleno” por las imágenes es el rango de la matriz.
- ¿Cómo se relacionan los productos tensoriales con las transformaciones geométricas como el corte y la rotación?
- Cómo obtener un vector de dirección en un espacio 2D
- ¿Es una matriz en álgebra lineal solo un conjunto de vectores?
- Cómo demostrar [matemáticas] \ text {dim} (\ mathbb {U} + \ mathbb {W}) = \ text {dim} (\ mathbb {U}) + \ text {dim} (\ mathbb {W}) – \ text {dim} (\ mathbb {U} \ cap \ mathbb {W}) \ text {
- ¿Cuáles son los pros y los contras de la eliminación gaussiana?
Una vez que tenga en mente esta intuición, son obvias muchas propiedades del rango de una matriz:
- [matemáticas] rango (A) \ leq m [/ matemáticas], [matemáticas] rango (A) \ leq n [/ matemáticas]: Claramente, la dimensión del espacio lleno no puede ser mayor que m. Para la segunda desigualdad, usamos linealidad: si proyecta una línea linealmente, ¡no puede obtener una curva 2D! Generalice esto a dimensiones superiores. Por lo tanto, la proyección del espacio completo [matemática] n [/ matemática] -dimensional [matemática] R ^ n [/ matemática] no puede ser mayor que las dimensiones [matemática] n [/ matemática].
- [matemáticas] rango (AB) = rango (B) [/ matemáticas]: Consulte esta respuesta: Respuesta de Prasoon Goyal a ¿Qué tiene que ver el hecho de que una de las matrices puede invertirse tiene que ver con la prueba de este problema de álgebra lineal?
Y hay pocos más.