La idea es el siguiente teorema del álgebra lineal:
Teorema: Si [math] B = \ {\ vec {\ beta} _1, \ vec {\ beta} _2, \ dots, \ vec {\ beta} _n \} [/ math] forman una base en [math] \ mathbb {V} \, [/ math] y para cualquier [math] \ vec {v} \ in \ mathbb {V} [/ math] si
[matemáticas] \ vec {v} = c_1 \ vec {\ beta} _1 + c_2 \ vec {\ beta} _2 + \ cdots + c_n \ vec {\ beta} _n [/ matemáticas]
y si no todo [math] c_i = 0 [/ math], entonces reemplaza [math] \ vec {\ beta} _i [/ math] en [math] B [/ math] para obtener el conjunto [math] B ‘= \ {\ vec {\ beta} _1, \ vec {\ beta} _2, \ dots, \ vec {\ beta} _ {i – 1}, \ vec {v}, \ beta_ {i + 1}, \ dots , \ vec {\ beta} _n \} [/ math] hace que [math] B ‘[/ math] sea también una base en [math] \ mathbb {V} [/ math].
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Prueba: La prueba es simple e implica contradicción para demostrar que si existe una dependencia lineal entre los elementos de [matemáticas] B ‘[/ matemáticas], entonces violará la dependencia lineal de los elementos de [matemáticas] B [/ matemáticas]. Te lo dejaré a ti para resolver los detalles.
Ahora, que la dimensión de [math] \ mathbb {U} [/ math] sea [math] r [/ math] y la de [math] \ mathbb {W} [/ math] sea [math] s [/ math ] Si [math] B_U = \ {\ vec {\ beta} _1, \ vec {\ beta} _2, \ dots, \ vec {\ beta} _r \} [/ math] es una base en [math] \ mathbb { U} [/ math] y [math] B_W = \ {\ vec {\ delta} _1, \ vec {\ delta} _2, \ dots, \ vec {\ delta} _s \} [/ math] una base en [ math] \ mathbb {W} \, [/ math] luego para cada vector en [math] B_W \, [/ math] si es expresable linealmente en términos de los elementos de [math] B_U \, [/ math] entonces reemplace cualquier vector en [math] B_U [/ math] con el vector anterior (de [math] B_W [/ math]). Cuando el algoritmo termina, si [math] B_V [/ math] y [math] B_W [/ math] contienen elementos [math] p [/ math] en común entre sí, entonces se deduce que su unión contiene [math] r + s – p [/ math] elementos. Además, debería ser bastante obvio que cada elemento en [math] U + W [/ math] se puede expresar como una combinación lineal de los elementos de [math] B_V [/ math] y [math] B_W [/ math].