Cómo demostrar [matemáticas] \ text {dim} (\ mathbb {U} + \ mathbb {W}) = \ text {dim} (\ mathbb {U}) + \ text {dim} (\ mathbb {W}) – \ text {dim} (\ mathbb {U} \ cap \ mathbb {W}) \ text {

La idea es el siguiente teorema del álgebra lineal:

Teorema: Si [math] B = \ {\ vec {\ beta} _1, \ vec {\ beta} _2, \ dots, \ vec {\ beta} _n \} [/ math] forman una base en [math] \ mathbb {V} \, [/ math] y para cualquier [math] \ vec {v} \ in \ mathbb {V} [/ math] si

[matemáticas] \ vec {v} = c_1 \ vec {\ beta} _1 + c_2 \ vec {\ beta} _2 + \ cdots + c_n \ vec {\ beta} _n [/ matemáticas]

y si no todo [math] c_i = 0 [/ math], entonces reemplaza [math] \ vec {\ beta} _i [/ ​​math] en [math] B [/ math] para obtener el conjunto [math] B ‘= \ {\ vec {\ beta} _1, \ vec {\ beta} _2, \ dots, \ vec {\ beta} _ {i – 1}, \ vec {v}, \ beta_ {i + 1}, \ dots , \ vec {\ beta} _n \} [/ math] hace que [math] B ‘[/ math] sea también una base en [math] \ mathbb {V} [/ math].

Prueba: La prueba es simple e implica contradicción para demostrar que si existe una dependencia lineal entre los elementos de [matemáticas] B ‘[/ matemáticas], entonces violará la dependencia lineal de los elementos de [matemáticas] B [/ matemáticas]. Te lo dejaré a ti para resolver los detalles.

Ahora, que la dimensión de [math] \ mathbb {U} [/ math] sea [math] r [/ math] y la de [math] \ mathbb {W} [/ math] sea [math] s [/ math ] Si [math] B_U = \ {\ vec {\ beta} _1, \ vec {\ beta} _2, \ dots, \ vec {\ beta} _r \} [/ math] es una base en [math] \ mathbb { U} [/ math] y [math] B_W = \ {\ vec {\ delta} _1, \ vec {\ delta} _2, \ dots, \ vec {\ delta} _s \} [/ math] una base en [ math] \ mathbb {W} \, [/ math] luego para cada vector en [math] B_W \, [/ math] si es expresable linealmente en términos de los elementos de [math] B_U \, [/ math] entonces reemplace cualquier vector en [math] B_U [/ math] con el vector anterior (de [math] B_W [/ math]). Cuando el algoritmo termina, si [math] B_V [/ math] y [math] B_W [/ math] contienen elementos [math] p [/ math] en común entre sí, entonces se deduce que su unión contiene [math] r + s – p [/ math] elementos. Además, debería ser bastante obvio que cada elemento en [math] U + W [/ math] se puede expresar como una combinación lineal de los elementos de [math] B_V [/ math] y [math] B_W [/ math].

Para probar este problema …

Consideramos que [math] \ mathbb {U}, \ mathbb {W} [/ math] son ​​dos espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre un campo [math] F [/ math] de dimensión [math] r, s [/ math] respectivamente .

es decir, [math] dim (\ mathbb {U}) = r ~ y ~ \ dim (\ mathbb {W}) = s [/ math]

Entonces [math] \ mathbb {U} \ cap \ mathbb {W} [/ math] también espacios vectoriales dimensionales finitos de dimensión [math] k [/ math]

es decir, [math] \ dim [\ mathbb {U} \ cap \ mathbb {W}] = k [/ math]

Deje que [math] B = \ {x_1, x_2,…, x_k \} [/ math] sea la base de [math] \ mathbb {U} \ cap \ mathbb {W} [/ math]

Entonces, [matemáticas] B_1 = \ {x_1, x_2, …, x_k, v_1, v_2, …, v_ {rk} \} ~ y ~ B_2 = \ {x_1, x_2, …, x_k, u_1, u_2, …, u_ {sk} \} [/ math] son ​​las bases de [math] \ mathbb {U}, \ mathbb {W} [/ math] respectivamente.

Entonces [math] B_1 \ cap B_2 [/ math] es una base [math] \ mathbb {U} + \ mathbb {W} [/ math].

es decir, [matemática] \ dim [\ mathbb {U} + \ mathbb {W}] = r-k + s-k + k = r + sk [/ matemática]

[math] \ Rightarrow dim [\ mathbb {U} + \ mathbb {W}] = dim (\ mathbb {U}) + dim (\ mathbb {W}) – dim [\ mathbb {U} \ cap \ mathbb { W}] [/ matemáticas]

De ahí el problema.

Primero arregle las dimensiones para [matemática] U, W [/ matemática] y [matemática] U \ cap W [/ matemática] La esencia de la prueba es comenzar desde una base [matemática] \ beta [/ matemática] para la intersección de [math] U [/ math] y W. Puede agregar vectores a esta base para obtener dos bases diferentes, [math] \ beta_1 [/ math] para [math] U [/ math] y [math] \ beta_2 [ / math] para W. Si ahora demuestras que [math] \ beta_1 \ cup \ beta_2 [/ math] es una base para [math] U + W [/ math], entonces puedes deducir fácilmente tu ecuación. Por ejemplo, digamos que dim [matemática] U \ cap W = r [/ matemática], dimW [matemática] = s [/ matemática], dim [matemática] U = t [/ matemática], entonces usted tiene [matemática] \ # \ beta_1 = t, \ # \ beta_2 = s, \ # \ beta = r [/ math], a partir de esto demuestra que [math] \ # (\ beta_1 \ cup \ beta_2) = r + (sr) + (tr ) [/ math], entonces puede ver que la igualdad es válida, [math] r + (sr) + (tr) = s + tr. [/ math]