¿Cuál es la diferencia entre un tensor y un grupo de vectores?

Answer 1

Repasemos y sigamos las definiciones.

Un escalar es un tensor de rango cero, o un tensor de tipo [matemática] (0,0) [/ matemática].

Un vector es un tensor de rango uno, o un tensor (covariante) de tipo [matemático] (1,0) [/ matemático], o tensor (contravariante) de tipo [matemático] (0,1) [/ matemático].

Un tensor es un objeto o entidad matemático más general. Según Wikipedia, puede considerarse o definirse como un objeto geométrico que describe relaciones lineales entre vectores geométricos, escalares y otros tensores.

Así como un vector en un espacio n-dimensional está representado por una matriz unidimensional de longitud n con respecto a una base dada, cualquier tensor con respecto a una base está representado por una matriz multidimensional.

Así como los componentes de un vector cambian cuando cambiamos la base del espacio vectorial, los componentes de un tensor también cambian bajo tal transformación.

Entonces, en vista de las declaraciones y definiciones anteriores, un grupo de vectores son un grupo de tensores de rango uno.

Otra relación se refiere al concepto o noción de producto Tensor. Se puede definir un producto tensorial de dos o más espacios vectoriales sobre un campo [matemática] K [/ matemática], y un vector es un elemento de un espacio vectorial.

Cabe señalar que un grupo de vectores puede formar un campo Vector.

Answer 2

Un tensor es un conjunto de vectores (o sus duales) dispuestos de una manera particular, es decir, si transforma uno tiene que transformar los otros. El método de organizar vectores y / o vectores duales en un tensor es a través del producto tensorial (a menudo escrito [math] \ vec {A} \ otimes \ vec {B} [/ math]). Un caso especial es cuando [math] \ vec {A} = \ vec {\ nabla} [/ math] anterior: en este caso, el producto tensor corresponde al gradiente de la función (vector) [math] \ vec {B } [/ math] y a menudo se escribe [math] \ vec {\ nabla} \ vec {B} [/ math] (omitiendo el operador [math] \ otimes [/ math]). Este caso particular es un poco más familiar para los estudiantes de cálculo vectorial *, y podría ayudar a desarrollar la intuición para el operador del producto tensorial.

* Y, dado que [math] \ nabla [/ math] es un vector dual, el producto tensorial forma un tensor mixto de rango 2, por ejemplo, una matriz.

Editar: dado que esta respuesta ayudaría a muchos a no saberlo, un dual es el complemento “en forma de fila” de un vector: técnicamente, los vectores son todos en forma de columna. Se llama dual porque se empareja con un vector para formar un producto interno: es la función vectorial (f) que lleva elementos del espacio vectorial a la línea real.

Answer 3

Un tensor es como una matriz, lo que significa que tiene diferentes propiedades de transformación. Supongamos que cambiamos de base haciendo un vector [matemático] v \ rightarrow Tv [/ matemático] para alguna transformación invertible [matemático] T [/ matemático]. Entonces, para cualquier matriz [matemática] M [/ matemática], uno debe tener [matemática] M \ rightarrow TMT ^ {- 1} [/ matemática] para que [math] Mv \ rightarrow TMv [/ math], según sea necesario por la regla del vector. Sin embargo, un conjunto de vectores (columna) simplemente tendría [math] T [/ math] multiplicar por cada vector, sin la multiplicación a la derecha por [math] T ^ {- 1} [/ math]. La misma idea para los tensores: las reglas de transformación son diferentes a un grupo de vectores.

Answer 4

El escalador y los vectores son tensores, depende del rango, por ejemplo, el tensor de rango cero es un escalar, mientras que el rango dos es un vector, por ejemplo, el tensor de Einstein Guv es un extensor de 4X4, u = 0,1,2,3 yv = 0,1,2,3,4 y Ricci Tensor es Ruv, y la curvatura R es un tensor de u = v = 0, por lo que es escalar, es decir, el tensor puede ser de alto orden, se pueden agregar tensores, sustraído y multiplicado de acuerdo con el problema físico.