¿Por qué es correcto pensar en las transformaciones lineales como puntos móviles para que las líneas de la cuadrícula permanezcan paralelas y espaciadas uniformemente?

Cuando aprendemos por primera vez sobre la multiplicación es por dos números para producir un tercero, axb = c. Lo que revela el álgebra lineal es cómo funciona la multiplicación al multiplicar un CAMPO completo de puntos por un número, donde la multiplicación se convierte en una transformación espacial. Por ejemplo, imagine un campo de puntos aleatorios alrededor del origen en (x, y, z). Ahora, si multiplica la coordenada x de cada punto por algún coeficiente, moverá todos los puntos en el campo hacia adentro o hacia afuera desde el plano x = 0, dependiendo de si el coeficiente es menor o mayor que uno. Eso es lo que quieren decir con las líneas de la cuadrícula: representan todo el campo de puntos abarcados por la cuadrícula, y puede ver los diversos coeficientes como “puntos de control” que deforman o sesgan la cuadrícula de una manera u otra, cambiando cada punto simultáneamente con El campo cambiante.

El mayor obstáculo para la visualización del álgebra lineal es la matriz defectuosa y la notación vectorial que todos aprendemos en la escuela, donde las entradas en la matriz se indexan de 1 a N en tuplas (fila, columna), en lugar de 0 a N-1 en coordenadas cartesianas (x, y). Esto, más el hecho de que las dimensiones adicionales de más de dos todavía se apiñan en una matriz 2D para imprimir en la página, conducen a una confusión infinita. Por ejemplo, una matriz tridimensional (x, y, z) todavía se imprime como una matriz plana 3 × 3 en la página, cuando para la visualización esto realmente debería ser una estructura tridimensional, preferiblemente en coordenadas cartesianas en lugar de coordenadas matriciales extrañas .

Propongo una visualización alternativa. Levante los dedos pulgar, índice y medio de la mano izquierda en ángulo recto entre sí para representar las dimensiones x, y, z respectivamente. Estos tres dedos representan la “diagonal principal” de la matriz. Comience con la matriz de identidad donde los tres dígitos son de longitud unitaria (= 1). Multiplicar esta “matriz” por el campo significa que para cada punto en el campo, multiplique su coordenada x por el valor x, la coordenada y por el valor y, y la z por la z, y cada punto permanecerá justo donde empezado.

Ahora imagine que la coordenada x es mayor o menor que 1, imagine que su pulgar se estira hacia adentro y hacia afuera en longitud, y al hacerlo, cada punto del campo se estira hacia adentro y hacia afuera desde el origen según lo controla su pulgar. Y si hace que el coeficiente x sea negativo, cada punto se voltea a su imagen especular en el origen. Los coeficientes y y z estiran las dimensiones y y z de manera similar.

Ahora para los términos fuera de la diagonal: tomemos el término xy de la matriz, el número en la fila superior, segunda entrada, elemento de matriz [1,2] (fila, columna). Este término representa un sesgo por el cual cada punto en el campo se desplaza en la dirección y en función de su ubicación en la dirección x. Los puntos que tienen coordenadas cero x, es decir, puntos dentro del plano x = 0, no cambian en absoluto. Los puntos con coordenada x = 1 se desplazan en la dirección y por la magnitud del coeficiente, mientras que los puntos en el plano x = 2 se desplazan el doble de esa distancia en y, y así sucesivamente, mientras que los puntos en el plano x = -1 se desplazan la dirección opuesta hacia y negativa, etc.

En su imagen mental tridimensional, puede visualizar este término fuera de diagonal de la siguiente manera: mantenga sus 3 dígitos nuevamente, y ahora imagine otro vector en x = 1 (punta de su pulgar, con pulgar == unidad de longitud) pero apuntando hacia el dirección y, paralela al eje y. Este vector único representa el sesgo completo. Si es cero, no hay sesgo. Si es positivo, se inclina hacia un lado, negativo se inclina hacia el otro, y, por supuesto, lo mismo ocurre en los otros pares de dimensiones.

Puedes jugar con estos conceptos visuales en mi página de Geogebra en

Álgebra lineal: una introducción intuitiva

Hay una gran lección para llevar a casa de todo esto: la multiplicación no es solo la manipulación computacional de los números. También es un sistema de transformaciones espaciales con algunas propiedades peculiares que provienen directamente de las propiedades de la multiplicación misma, la idea de cero y negativo y la proyección y reflexión. El álgebra lineal ofrece un vistazo detrás de la cortina de multiplicación para revelar su verdadera naturaleza como un magnífico sistema de transformaciones espaciales.