La proyección ortogonal de un objeto sobre otro es una aplicación lineal matemáticamente hablando, para la cual su Kernel y su Imagen son espacios ortogonales.
Esa es la definición matemática de la misma.
Para comprender mejor lo que es físicamente, me gusta verlo como la sombra que un objeto proyecta sobre otro objeto cuando la luz proviene directamente de arriba (lo que significa que los rayos de luz son ortogonales al segundo objeto). Como cuando el sol está justo encima de ti, la sombra que proyectas es tu proyección ortogonal en el suelo (el primer objeto eres tú, el segundo es el suelo).
O cuando haces títeres de sombras con tus manos, las figuras que ves en la pared son, más o menos, proyecciones ortogonales de tus manos. Dije algo así porque generalmente tus títeres son más grandes que tus manos debido a que la fuente de luz está demasiado cerca de tus manos, lo que distorsiona un poco tu proyección ortogonal.
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Para abordar la segunda parte de su pregunta, cómo calcular una proyección ortogonal depende de la dimensión en la que esté trabajando, pero generalmente en 2D un producto escalar que conduce a un conjunto de ecuaciones lineales (las incógnitas son las coordenadas de la proyección ortogonal) funciona bastante bien