Cómo probar un espacio vectorial R con n dimensiones tiene subespacios infinitos de dimensión k, donde 0 <k <n

Answer 1

Consideremos un espacio vectorial [matemático] R [/ matemático] con [matemática] n [/ matemática] dimensión y otro espacio vectorial de dimensión [matemático] k <n, [/ matemático] llámelo [matemático] U. [/ Matemático ]

Piensa en el espacio vectorial con su base, lo que quiero decir es [matemática] B_R = \ {b_1, \ dots, b_n \}, [/ math] y [math] B_U = \ {u_1, \ dots, u_k \}. [ / math] Cada elemento del espacio vectorial [math] R [/ math] puede representarse de manera única a través de vectores base [math] B_R [/ math]. Ahora, mire más de cerca el conjunto de vectores [matemática] B_U, [/ matemática] Dado que [matemática] U \ subconjunto R, [/ matemática] entonces [matemática] \ forall x \ en U [/ matemática] es cierto que [matemática] x \ en R, [/ matemática], por lo tanto, cada vector en [matemática] U [/ matemática] podría expresarse de manera única como una combinación lineal de vectores básicos [matemática] B_U. [/ matemática] Lo mismo es cierto para [math] R, [/ math] lo que implica que estas dos combinaciones lineales coinciden, es decir, los coeficientes de representación restantes en base [math] B_R [/ math] son ​​ceros, mientras que uno puede establecer fácilmente uno de ellos en un valor distinto de cero valor y aparece otro espacio [math] U ‘, [/ math] que es diferente de [math] U; el ajuste [/ math] a otro valor dará como resultado otro subespacio [math] U’ ‘, [/ math] y así sucesivamente.

En resumen, esta forma permite construir infinitos subespacios de espacio vectorial [matemática] R [/ matemática] que conduce al final de la prueba.

Answer 2

¡Esto solo es cierto en un campo infinito!

Deje que [math] \ mathbb {F} [/ math] sea un campo infinito, deje que [math] V [/ math] sea un [math] \ mathbb {F} [/ math] -vector espacio de dimensión [math] n \ geq 2 [/ math], y deje que [math] B = \ {b_1, b_2, \ ldots, b_n \} [/ math] sea la base de [math] V [/ math]. Usando el hecho de que un vector en [math] V [/ math] puede expresarse como una combinación lineal de elementos de [math] B [/ math] exactamente de una manera, no es difícil demostrar que los subespacios unidimensionales

[matemáticas] W_x = \ mathrm {span} (b_1 + x b_2) [/ math]

son por pares distintos ya que [math] x [/ math] se extiende sobre [math] \ mathbb {F} [/ math] Esto prueba el resultado para [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas]. Para el caso general, use los subespacios

[matemáticas] W_x \ oplus \ mathrm {span} (b_3, b_4, \ ldots, b_ {k + 1}) [/ math].

Ejercicio 1: ¿Ves por qué tuvimos que asumir que [math] \ mathbb {F} [/ math] es infinito?

Ejercicio 2 (más difícil): sobre un campo finito con elementos [matemática] q [/ matemática], un espacio vectorial de dimensión [matemática] n [/ matemática] tiene un número finito de subespacios de dimensión [matemática] k [/ matemática] . ¿Cuántos? Si está atascado, ya sea Google para “campo finito Grassmannian” o A2A me.

Answer 3

En general, el subespacio generado por cualquier conjunto [math] S_i [/ ​​math] de vectores (es decir, el subespacio más pequeño que contiene [math] S_i [/ ​​math] es igual al subespacio generado por un conjunto [math] S_j [/ math] de vectores precisamente cuando [math] S_i = S_j [/ math]. Luego, en un espacio vectorial con infinitos vectores, es decir, un espacio vectorial sin torsión, tendrá infinitamente muchos subespacios.

Si su espacio vectorial tiene infinitos elementos, entonces cualquier vector [math] v_i [/ ​​math] generará un subespacio dado por {[math] tv_i: t \ in F [/ math]}, y estos subespacios 1D son todos disjuntos por pares:

[matemáticas] t_1v_i = t_2v_j \ rightarrow t_1t_2 ^ {- 1} v_i = v_j [/ matemáticas]

Por independencia lineal.

Para una generalización, considere [math] \ mathbb R ^ n [/ math] como un espacio vectorial sobre los Reals. Es isomorfo como espacio vectorial para cualquier espacio vectorial n-dimensional sobre las Reales. Cada vector da lugar al subespacio 1D.

Answer 4

No puedes porque está mal.

Considere [math] \ mathbb {F} ^ 2 [/ math] que es bidimensional

Puede tener como máximo [math] | \ mathcal {P} (\ mathbb {F} ^ 2) | = 2 ^ 4 [/ math] muchos subespacios. Por supuesto, la mayoría de ellos no lo son.

De hecho, solo hay [matemáticas] 2 [/ matemáticas] que son unidimensionales.

Answer 5

Pruébelo primero con k = 1, n = 2. Dibuja una imagen. Las rotaciones serán tu amigo.