Puede suceder que el hessiano no sea simétrico.
La matriz de Hesse de [math] f: \ mathbb R ^ n \ to \ mathbb R [/ math] es
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial {x_i} \ partial {x_j}} \ right) _ {1 \ le i, j \ le n} \ tag * {} [ /matemáticas]
Decir que es simétrico es equivalente a decir que
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[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial {x_i} \ partial {x_j}} = \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial {x_j} \ partial {x_i}} \ tag *{}[/matemáticas]
Si el diferencial de [math] f [/ math] es en sí mismo diferenciable, entonces puede intercambiar el orden de derivación (teorema de Schwarz), y luego es la simétrica de Hesse.
Si no, entonces es posible que en algún momento el Hessian no sea simétrico.
Ejemplo (primero dado por el propio Schwarz):
[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} f: \ mathbb R ^ 2 & \ to \ mathbb R \\ (x, y) & \ mapsto \ frac {xy (x ^ 2-y ^ 2)} {x ^ 2 + y ^ 2} \\ (0,0) & \ mapsto 0 \ end {align} \ tag * {} [/ math]
satisface
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial {x} \ partial {y}} (0,0) = 1 \ etiqueta * {} [/ matemática]
mientras
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial {y} \ partial {x}} (0,0) = – 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Por curiosidad, [math] f [/ math] se ve así: