Por lo tanto, debemos comenzar recordando que el “producto de puntos” en dos dimensiones es un caso especial de lo que generalmente se conoce como el producto interno que puede existir en varias formas en espacios vectoriales donde se puede definir bien.
Asumiré que estás trabajando en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]. Entonces el producto punto es un mapa
[math] f: \ mathbb {R} ^ 2 \ times \ mathbb {R} ^ 2 \ longrightarrow \ mathbb {R} [/ math]
que asigna los vectores v [matemática] = [x_1, y_1] [/ matemática] yw [matemática] = [x_2, y_2] [/ matemática] a z [matemática] = x_1x_2 + y_1 y_2 [/ matemática]
- Cómo encontrar el inverso de una matriz que tiene un número diferente de filas y columnas para examinar una matriz 4 * 5
- ¿Por qué la notación para vectores no es explícita sobre los vectores base que está usando?
- ¿Cuál es la diferencia entre un tensor y un grupo de vectores?
- ¿Hay matrices que solo se puedan multiplicar con otra matriz si está en un lado?
- ¿Cuál es la dimensionalidad del espacio, en el que se realiza la clasificación lineal?
Esa es exactamente la definición algebraica del producto punto v [matemáticas] \ cdot [/ matemáticas] w , que coincide con la definición de multiplicación de matrices v [matemáticas] ^ T [/ matemáticas] w .
Ahora mostraré cómo esto es equivalente a [math] proj [/ math] [math] _v ([/ math] w [math]) || [/ math] w [math] ||. [/ Math] (I intentará poner los vectores en negrita, pero si me olvido, sé que me estoy refiriendo a un vector siempre que use las letras u , v y w ).
Podemos escribir [math] proj_v ([/ math] w [math]) || [/ math] w [math] || [/ math] como [math] || [/ math] v [math] ||| | [/ matemática] w [matemática] || \ cos (\ theta) [/ matemática] porque la proyección de v en el vector w es [matemática] || [/ matemática] v [matemática] || \ cos (\ theta), [/ math] donde [math] \ theta [/ math] es el ángulo entre los dos vectores. Nota: Usaré [math] \ theta_x [/ math] para denotar el ángulo entre un vector y el eje [math] x [/ math] y [math] \ theta_y [/ math] para denotar el ángulo entre un vector y el eje [math] y [/ math]. Entonces [math] || [x_1, y_1] || \ cos (\ theta_x) = x_1 [/ math] y [math] || [x_1, y_1] || \ cos (\ theta_y) = y_1. [/ Math ]
La clave de esta prueba es la propiedad distributiva del producto punto (fácil de probar usando la definición algebraica) que establece que para los vectores u , v y w tenemos u [math] \ cdot ([/ math] v [math] + [/ matemática] w [matemática]) = [/ matemática] u [matemática] \ cdot [/ matemática] v [matemática] + [/ matemática] u [matemática] \ cdot [/ matemática] w [matemática]. [/matemáticas]
Escribamos v y w como v [matemáticas] = x_1 [1, 0] + y_1 [0,1] [/ matemáticas] y de manera similar para w .
Ahora
v [matemática] \ cdot [/ matemática] w [matemática] = [/ matemática] v [matemática] \ cdot (x_2 [1,0] + y_2 [0,1]) [/ matemática]
[math] = [/ math] v [math] \ cdot \ left (x_2 [1,0] \ right) + [/ math] v [math] \ cdot \ left (y_2 [0,1] \ right) [ / math] (usando la propiedad distributiva)
[matemática] = x_2 ([/ matemática] v [matemática] \ cdot [1,0]) + y_2 ([/ matemática] v [matemática] \ cdot [0,1]) [/ matemática] ya que puede extraer escalares fuera
ahora aplicaremos la definición geométrica u [matemática] \ cdot [/ matemática] v [matemática] = || [/ matemática] u [matemática] |||| [/ matemática] v [matemática] || \ cos (\ theta) [/ matemáticas]
[matemáticas] = x_2 (|| [/ matemáticas] v [matemáticas] |||| [1,0] || \ cos (\ theta_x)) + y_2 (|| [/ matemáticas] v [matemáticas] ||| | [0,1] || \ cos (\ theta_y)) [/ math]
[matemática] = x_2 (|| [/ matemática] v [matemática] || \ cos (\ theta_x)) + y_2 (|| [/ matemática] v [matemática] || \ cos (\ theta_y)) [/ matemática ]
[matemáticas] = x_2 (|| [x_1, y_1] || \ cos (\ theta_x)) + y_2 (|| [x_1, y_1] || \ cos (\ theta_y)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = x_2x_1 + y_2y_1 [/ matemáticas]
que es exactamente la definición algebraica:
v [matemática] \ cdot [/ matemática] w [matemática] = [/ matemática] v [matemática] ^ T [/ matemática] w [matemática] = x_1x_2 + y_1y_2. [/ matemática]