¿Existe una relación entre la invertibilidad y la diagonalización de una matriz? (incluso sobre una base porcentual, en lugar de una necesaria / suficiente)?

Answer 1

TL; DR: No. Ninguna de estas dos condiciones hace que la otra sea más probable. Vea a continuación lo que quiero decir con esto, precisamente.

La invertibilidad no implica diagonalización: cualquier matriz invertible con bloques Jordan de tamaño mayor que [math] 1 [/ math] no podrá ser diagonalizable. Entonces, el ejemplo mínimo es cualquier [matemática] \ begin {pmatrix} c & 1 \\ 0 & c \ end {pmatrix} [/ math] con [math] c \ neq 0 [/ math].

La diagonalización no implica invertibilidad: cualquier matriz diagonal con una [matemática] 0 [/ matemática] en algún lugar de la diagonal principal es un ejemplo.

La mayoría de las matrices son invertibles: dado que el determinante es un polinomio en las entradas de la matriz, el conjunto de matrices [math] n \ times n [/ math] con un determinante igual a [math] 0 [/ math] es una subvariedad de dimensión [math ] n ^ 2-1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, tiene una medida cero en el espacio de todas las matrices cuadradas [matemáticas] n \ veces n [/ matemáticas].

La mayoría de las matrices son diagonalizables: el mapa [math] \ lambda \ mapsto \ det (A- \ lambda I_n) [/ math] es un polinomio en [math] \ lambda \ in \ mathbb {C} [/ math], y es igual a cero si y solo si [math] \ lambda [/ math] es un valor propio de la matriz [math] n \ times n [/ math] [math] A [/ math]. Por lo tanto, este polinomio tiene [matemáticas] n [/ matemáticas] raíces distintas si y solo si [matemáticas] A [/ matemáticas] es diagonalizable. El discriminante de este polinomio es distinto de cero si y solo si sus raíces son todas distintas, por lo que el espacio de las matrices diagonalizables es simple el conjunto cero de este discriminante, considerado como un polinomio en las entradas de [math] A [/ math]. Entonces, la subvariedad de las matrices no diagonalizables también tiene una medida cero.

Estas dos condiciones son transversales: finalmente, podemos preguntarnos si estas condiciones son o no “independientes” en un sentido razonable. Una buena forma de preguntar esto es preguntar si la subvariedad [matemática] X [/ matemática] de las matrices no invertibles y la subvariedad [matemática] [[/ matemática] de las matrices no diagonalizables son transversales. Es decir, ¿sus intersecciones tienen la dimensión esperada (“independiente”) o una dimensión más pequeña (“dependiente”)?

Dado que la conjugación de una matriz por una matriz invertible no afecta su invertibilidad, es suficiente considerar el caso de las matrices en forma normal de Jordan. El componente genérico del espacio de las matrices no diagonalizables es el espacio de las matrices con un solo bloque [Jordan] 2 \ times 2 [/ math] Jordan, todos los demás bloques son [math] 1 \ times 1 [/ math]; La codimensión en el espacio de las matrices de Jordan es [math] 1 [/ math]. Del mismo modo, el espacio de las matrices de formas de Jordan no invertibles tiene codimensión [matemática] 1 [/ matemática]. Finalmente, el espacio de Jordan forma matrices con ambas propiedades tiene codimensión [matemática] 2 [/ matemática], por lo que de hecho se cruzan transversalmente.

NB La mayor parte de lo anterior funciona con [math] \ mathbb {C} [/ math] reemplazado por cualquier campo algebraicamente cerrado (la parte de la que no estoy seguro es la parte sobre la transversalidad; también, obviamente, cualquier referencia a “medir” está tomando implícitamente la medida de Lebesgue y confiando en usar el campo [math] \ mathbb {C} [/ math]). Dado que cualquier campo algebraicamente cerrado es infinito, no podemos responder preguntas sobre probabilidad o frecuencia (su “base porcentual”) contando, así que elegí la dimensionalidad como una medida de tamaño apropiada. De ahí la consideración de la transversalidad, que es la herramienta natural para estudiar la dimensión de una intersección.