¿Cuál es la diferencia entre un tensor y un operador matricial / lineal?

Answer 1

Deje que V sea un espacio vectorial. Un operador lineal en V es solo una función T: V-> V tal que T (au + v) = aT (u) + v para todos los escalares a y vectores u y v. El conjunto de todos los operadores lineales en V se denota Fin (V) y es en sí mismo un espacio vectorial. Un tensor en V es un elemento de un espacio vectorial [matemático] V ^ {\ otimes m} \ otimes (V ^ \ ast) ^ {\ otimes n} [/ math] para algunos enteros no negativos myn, donde [math] V ^ {\ otimes m} [/ math] es el producto tensorial de V consigo mismo m veces, y [math] V ^ \ ast [/ math] es el dual de V. Existe una biyección natural F ( de hecho, una transformación lineal invertible) entre [math] V \ otimes V ^ \ ast [/ math] y End (V) dado en tensores puros v [math] \ otimes f [/ math] por [math] F (v \ otimes f) [/ math] es la función que envía u en V a [math] f (u) v [/ math]. De esta manera, un operador lineal puede considerarse como un tipo específico de tensor.

Answer 2

Vea la respuesta a la siguiente pregunta:
¿Cuál es la diferencia entre una “matriz de datos” y una matriz (operador de matriz), o un “tensor de datos” y un tensor (operador de tensor)?

Answer 3

Si E, F son espacios de Banach y E ‘representa el dual topológico de E, entonces si {\ cal L} _f (E; F) son todos operadores lineales de tipo finito, pueden estar representados por \ sum_ {j = 1} ^ m x_j ‘\ otimes y_j, donde x_j’ \ en E’y y_j \ en F y ma número natural, que son precisamente combinaciones lineales de elementos en E ‘\ otimes F. Entonces, podemos escribir

{\ cal L} _f (E; F) = E ‘\ otimes F.

Por lo tanto, los operadores lineales de producto tensorial y de tipo finito son esencialmente lo mismo.

Answer 4

Rango y dimensión, principalmente. Una matriz es un tensor de rango dos, con un rango de columna y un rango de barra. Los tensores son de rango N para cualquier N, con tantos rangos de fila y columna como desee. Los operadores lineales (en funciones sobre los reales) son matrices de dimensión infinita, mientras que los tensores normalmente se consideran de dimensión finita (cada índice en un elemento puede tomar un número finito de valores).